Questão: Vamos cercar um terreno retangular. Visto de cima, o custo das cercas nos lados verticais é de R 10 por metro, o custo da base é de Ré 2 por metro e o custo do topo é de R 5 por metro. Se dispomos de R 700, determine as dimensões do terreno que maximizam a área cercada.

Passo 1

O enunciado dá um terreno retangular e pede: determinar as dimensões do terreno que maximizam a área cercada, sabendo que temos R$ 700 disponíveis e os custos por metro são diferentes em cada lado. Informações dadas:
  • o comprimento dos lados verticais (os dois lados verticais) custa R$ 10 por metro;
  • a base (um dos lados horizontais) custa R$ 2 por metro;
  • o topo (o outro lado horizontal) custa R$ 5 por metro;
  • orçamento total disponível R$ 700.
    Pergunta explícita: encontrar as dimensões (comprimento da base e altura dos lados verticais) que maximizam a área cercada usando todo o orçamento.

Passo 2

Escolhemos variáveis para descrever o retângulo. Seja:
  • w a largura horizontal do terreno (comprimento da base e do topo) em metros;
  • h a altura vertical do terreno (comprimento dos lados verticais) em metros.
    A área a maximizar é
A = w h.
Agora escreveremos a restrição de custo em termos de w e h.

Passo 3

Calcular o custo total usando os dados do enunciado. Há dois lados verticais, cada um com altura h e custo por metro 10. Logo o custo total dos dois verticais é
\text{custo\_verticais} = 2\cdot 10 \cdot h = 20h.
A base (um lado horizontal) tem comprimento w e custa R$ 2 por metro, então
\text{custo\_base} = 2w.
O topo (o outro lado horizontal) tem comprimento w e custa R$ 5 por metro, então
\text{custo\_topo} = 5w.
Somando tudo, o custo total é
C = 20h + 2w + 5w = 20h + 7w.

Passo 4

Usamos todo o orçamento (para maximizar a área é ótimo consumir todo o dinheiro), portanto impomos a igualdade
20h + 7w = 700.
Isolamos h em função de w:
20h = 700 - 7w \quad\Rightarrow\quad h = \frac{700-7w}{20}.
Simplificando 700/20=35 e 7/20 fica como está:
h = 35 - \frac{7}{20}w.

Passo 5

Substituímos h na expressão da área para obter uma função de uma variável w:
A(w) = w\left(35 - \frac{7}{20}w\right).
Distribuindo,
A(w) = 35w - \frac{7}{20}w^2.
Esta é uma parábola em w com coeficiente quadrático negativo ( -\frac{7}{20}), logo é côncava para baixo e possui um único máximo (o vértice da parábola). Agora vamos achar o w que dá esse máximo.

Passo 6

Método para encontrar o máximo: derivada e condição de ponto crítico. Lembrete rápido (aula curta): a derivada A'(w) indica a taxa de variação da área em relação a w. Pontos onde A'(w)=0 são candidatos a máximos ou mínimos; como sabemos que a parábola é côncava para baixo, o ponto crítico será um máximo.
Calculamos a derivada de A(w):
A'(w) = \frac{d}{dw}\left(35w - \frac{7}{20}w^2\right) = 35 - \frac{7}{10}w.
(Aqui usamos que \frac{d}{dw}(aw)=a e \frac{d}{dw}(bw^2)=2bw; portanto para b=-\frac{7}{20} obtemos 2b=-\frac{7}{10}.)

Passo 7

Encontramos o ponto crítico resolvendo A'(w)=0:
35 - \frac{7}{10}w = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{7}{10}w = 35 \quad\Rightarrow\quad w = 35\cdot\frac{10}{7}.
Calculando:
w = 35\cdot\frac{10}{7} = 5\cdot 10 = 50.
Portanto w = 50 metros.

Passo 8

Agora obtemos h usando a relação do custo h = 35 - \frac{7}{20}w. Substituindo w=50:
h = 35 - \frac{7}{20}\cdot 50.
Calculemos passo a passo: \frac{7}{20}\cdot 50 = 7\cdot \frac{50}{20} = 7\cdot \frac{5}{2} = 7\cdot 2{,}5 = 17{,}5. Assim
h = 35 - 17{,}5 = 17{,}5.
Logo h = 17{,}5 metros.

Passo 9

Verificação de que é máximo: como a função A(w)=35w-\tfrac{7}{20}w^2 tem coeficiente de w^2 negativo ( -\tfrac{7}{20}), a parábola é côncava para baixo e o ponto crítico encontrado é de fato um máximo. Alternativamente, a segunda derivada é
A''(w) = -\frac{7}{10} < 0,
confirmação formal de máximo.
Também podemos calcular a área máxima resultante:
A_{\max} = w\cdot h = 50 \cdot 17{,}5 = 875.
Unidade: metros quadrados.

Resposta

\text{base (largura)} = 50\\ \mathrm{m}
\text{altura (lados verticais)} = 17{,}5\\ \mathrm{m}
\text{área máxima} = 875\\ \mathrm{m}^2áá

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