Questão: Vamos cercar um terreno retangular. Visto de cima, o custo das cercas nos lados verticais é de R
2 por metro e o custo do topo é de R
700, determine as dimensões do terreno que maximizam a área cercada.
Passo 1
O enunciado dá um terreno retangular e pede: determinar as dimensões do terreno que maximizam a área cercada, sabendo que temos R$ 700 disponíveis e os custos por metro são diferentes em cada lado. Informações dadas:
- o comprimento dos lados verticais (os dois lados verticais) custa R$
por metro; - a base (um dos lados horizontais) custa R$
por metro; - o topo (o outro lado horizontal) custa R$
por metro; - orçamento total disponível R$
.
Pergunta explícita: encontrar as dimensões (comprimento da base e altura dos lados verticais) que maximizam a área cercada usando todo o orçamento.
Passo 2
Escolhemos variáveis para descrever o retângulo. Seja:
-
a largura horizontal do terreno (comprimento da base e do topo) em metros; -
a altura vertical do terreno (comprimento dos lados verticais) em metros.
A área a maximizar é
Agora escreveremos a restrição de custo em termos de
e
.
Passo 3
Calcular o custo total usando os dados do enunciado. Há dois lados verticais, cada um com altura
e custo por metro
. Logo o custo total dos dois verticais é
A base (um lado horizontal) tem comprimento
e custa R$
por metro, então
O topo (o outro lado horizontal) tem comprimento
e custa R$
por metro, então
Somando tudo, o custo total é
Passo 4
Usamos todo o orçamento (para maximizar a área é ótimo consumir todo o dinheiro), portanto impomos a igualdade
Isolamos
em função de
:
Simplificando
e
fica como está:
Passo 5
Substituímos
na expressão da área para obter uma função de uma variável
:
Distribuindo,
Esta é uma parábola em
com coeficiente quadrático negativo (
), logo é côncava para baixo e possui um único máximo (o vértice da parábola). Agora vamos achar o
que dá esse máximo.
Passo 6
Método para encontrar o máximo: derivada e condição de ponto crítico. Lembrete rápido (aula curta): a derivada
indica a taxa de variação da área em relação a
. Pontos onde
são candidatos a máximos ou mínimos; como sabemos que a parábola é côncava para baixo, o ponto crítico será um máximo.
Calculamos a derivada de
:
(Aqui usamos que
e
; portanto para
obtemos
.)
Passo 7
Encontramos o ponto crítico resolvendo
:
Calculando:
Portanto
metros.
Passo 8
Agora obtemos
usando a relação do custo
. Substituindo
:
Calculemos passo a passo:
. Assim
Logo
metros.
Passo 9
Verificação de que é máximo: como a função
tem coeficiente de
negativo (
), a parábola é côncava para baixo e o ponto crítico encontrado é de fato um máximo. Alternativamente, a segunda derivada é
confirmação formal de máximo.
Também podemos calcular a área máxima resultante:
Unidade: metros quadrados.