6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{5 \operatorname{arctg} 2 x}{4 x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5\\ \operatorname{arctg}(2x)}{4x^{2}+1}\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função a ser integrada é \dfrac{5\,\operatorname{arctg}(2x)}{4x^{2}+1}.
  • Queremos a primitiva dessa função (a integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{5\,\operatorname{arctg}(2x)}{4x^{2}+1}.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): a presença de \operatorname{arctg}(2x) multiplicada por uma razão que envolve 4x^2+1 sugere tentar uma substituição em que a parte \operatorname{arctg}(2x) vire a nova variável. Vou testar a substituição
u=\operatorname{arctg}(2x).
Agora calculo du usando a regra da cadeia (derivada de \operatorname{arctg}(t) é \dfrac{1}{1+t^{2}} e depois multiplico pela derivada interna 2):
du=\frac{2}{1+(2x)^{2}}\,dx=\frac{2}{1+4x^{2}}\,dx=\frac{2}{4x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Isolo o diferencial que aparece na integral original. Da igualdade acima segue
\frac{1}{4x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Substituo na integral original:
\int \frac{5\,\operatorname{arctg}(2x)}{4x^{2}+1}\,dx =5\int \operatorname{arctg}(2x)\cdot\frac{1}{4x^{2}+1}\,dx =5\int u\cdot\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Simplifico o fator constante:
5\int u\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{5}{2}\int u\,du.
Agora aplico a regra básica de integração de potências (ou primitives): \int u\,du=\dfrac{u^{2}}{2}+C. Assim
\frac{5}{2}\int u\,du=\frac{5}{2}\cdot\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{5}{4}u^{2}+C.

Passo 5

Volto à variável original x substituindo u=\operatorname{arctg}(2x):
\frac{5}{4}u^{2}+C=\frac{5}{4}\bigl(\operatorname{arctg}(2x)\bigr)^{2}+C.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (útil para confirmar que não cometi erros): calcule a derivada de \dfrac{5}{4}\bigl(\operatorname{arctg}(2x)\bigr)^{2} usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\frac{5}{4}\bigl(\operatorname{arctg}(2x)\bigr)^{2}\right] =\frac{5}{4}\cdot 2\operatorname{arctg}(2x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(2x)\bigr) = \frac{5}{2}\operatorname{arctg}(2x)\cdot\frac{2}{4x^{2}+1} = \frac{5\,\operatorname{arctg}(2x)}{4x^{2}+1},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{5}{4}\bigl(\operatorname{arctg}(2x)\bigr)^{2}+C

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