Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função a ser integrada é
. - Queremos a primitiva dessa função (a integral indefinida), ou seja, uma função
tal que .
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): a presença de
multiplicada por uma razão que envolve
sugere tentar uma substituição em que a parte
vire a nova variável. Vou testar a substituição
Agora calculo
usando a regra da cadeia (derivada de
é
e depois multiplico pela derivada interna
):
Passo 3
Isolo o diferencial que aparece na integral original. Da igualdade acima segue
Substituo na integral original:
Passo 4
Simplifico o fator constante:
Agora aplico a regra básica de integração de potências (ou primitives):
. Assim
Passo 5
Volto à variável original
substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida por derivação (útil para confirmar que não cometi erros): calcule a derivada de
usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.