Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- É uma integral indefinida (sem limites).
- O integrando é
. - Deve-se usar técnicas de substituição ou por partes; aqui a substituição é a mais natural.
Passo 2
Ideia geral (substituição): quando dentro da exponencial aparece uma função composta de
(aqui
) e fora aparece algo proporcional à sua derivada (aqui
), é conveniente fazer a substituição da função interna para simplificar. Vou escolher a substituição
Agora vou relacionar
com
.
Passo 3
Calcule
. Derivando
em relação a
obtemos
Isolando
temos
Passo 4
Substitua na integral. Como
entra na exponencial como
e
, a integral fica
Passo 5
Calcule a integral em
. Sabendo que a primitiva de
é
(porque
), temos
Passo 6
Volte à variável original
substituindo
:
Essa é a primitiva que buscamos.
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito para a prova): diferencie a resposta para confirmar. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Então está correto.
Passo 8
Dica prática para a prova: memorize o padrão geral
Aqui
tem
. O integrando
é
, o que explica o fator
na primitiva. Isso ajuda a reconhecer soluções rapidamente sem fazer todos os passos, mas sempre verifique com derivação.