6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int y e^{-y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int y e^{-y^{2}}\, dy.
Informações dadas:
  • É uma integral indefinida (sem limites).
  • O integrando é y e^{-y^{2}}.
  • Deve-se usar técnicas de substituição ou por partes; aqui a substituição é a mais natural.

Passo 2

Ideia geral (substituição): quando dentro da exponencial aparece uma função composta de y (aqui -y^{2}) e fora aparece algo proporcional à sua derivada (aqui y), é conveniente fazer a substituição da função interna para simplificar. Vou escolher a substituição
u = y^{2}.
Agora vou relacionar du com dy.

Passo 3

Calcule du. Derivando u = y^{2} em relação a y obtemos
du = 2y\, dy.
Isolando y\,dy temos
y\, dy = \frac{1}{2}\, du.

Passo 4

Substitua na integral. Como u = y^{2} entra na exponencial como e^{-u} e y\,dy = \dfrac{1}{2}du, a integral fica
\int y e^{-y^{2}}\, dy = \int e^{-u}\cdot \frac{1}{2}\, du = \frac{1}{2}\int e^{-u}\, du.

Passo 5

Calcule a integral em u. Sabendo que a primitiva de e^{-u} é -e^{-u} (porque \dfrac{d}{du}(-e^{-u}) = e^{-u}), temos
\frac{1}{2}\int e^{-u}\, du = \frac{1}{2}\bigl(-e^{-u}\bigr) + C = -\frac{1}{2}e^{-u} + C.

Passo 6

Volte à variável original y substituindo u = y^{2}:
-\frac{1}{2}e^{-u} + C = -\frac{1}{2}e^{-y^{2}} + C.
Essa é a primitiva que buscamos.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito para a prova): diferencie a resposta para confirmar. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dy}\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-y^{2}}\Bigr) = -\tfrac{1}{2}\, e^{-y^{2}}\cdot(-2y) = y e^{-y^{2}},
que é exatamente o integrando. Então está correto.

Passo 8

Dica prática para a prova: memorize o padrão geral
\int f'(y)\, e^{f(y)}\, dy = e^{f(y)} + C.
Aqui f(y)=-y^{2} tem f'(y)=-2y. O integrando y e^{-y^{2}} é -\tfrac{1}{2}f'(y)e^{f(y)}, o que explica o fator -\tfrac{1}{2} na primitiva. Isso ajuda a reconhecer soluções rapidamente sem fazer todos os passos, mas sempre verifique com derivação.

Resposta

-\dfrac{1}{2}e^{-y^{2}} + C

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