6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int y^{2} e^{-y^{3}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int y^{2} e^{-y^{3}}\,dy.
Informações dadas:
  • A variável de integração é y.
  • O integrando é o produto de y^{2} por e^{-y^{3}}.
  • Deve-se usar técnicas de substituição ou por partes (qualquer uma serve, mas só é pedido para calcular a integral).

Passo 2

Escolha do método (curtinha e prática): vou usar substituição. Por quê? Porque dentro da exponencial aparece -y^{3} e a derivada de y^{3} é 3y^{2}; isto é, a parte y^{2}\,dy aparece multiplicando uma função de y^{3}. Esse é o padrão clássico que torna a substituição direta e simples.
Explicando a técnica de substituição (passo-a-passo didático):
  • Se a integral tem a forma \int f(g(y))\,g'(y)\,dy, então podemos fazer u=g(y), obter du=g'(y)\,dy e reduzir a integral para \int f(u)\,du.
  • Aqui a ideia é “isolar” uma função interna g(y) cuja derivada apareça (até multiplicada por constante) no integrando; isso transforma a integral numa integral mais simples em u.

Passo 3

Definimos a substituição. Vou escolher
u = y^{3}.
Agora calculo o diferencial du:
du = 3y^{2}\,dy.
Isolando y^{2}\,dy em função de du obtemos
y^{2}\,dy = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Fazer a troca na integral. Substituindo u e y^{2}\,dy na integral original:
\int y^{2} e^{-y^{3}}\,dy = \int e^{-u}\left(\frac{1}{3}\,du\right) = \frac{1}{3}\int e^{-u}\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u. Lembrando que \dfrac{d}{du}e^{-u} = -e^{-u}, então
\int e^{-u}\,du = -e^{-u} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} obtemos
\frac{1}{3}\int e^{-u}\,du = -\frac{1}{3}e^{-u} + C.

Passo 6

Voltar para a variável y substituindo u=y^{3}:
-\frac{1}{3}e^{-u} + C = -\frac{1}{3}e^{-y^{3}} + C.
Esse é o resultado da integral.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivar a resposta para checar se retorna ao integrando.
\frac{d}{dy}\!\left(-\frac{1}{3}e^{-y^{3}}\right) = -\frac{1}{3} e^{-y^{3}}\cdot\frac{d}{dy}(-y^{3}) = -\frac{1}{3} e^{-y^{3}}\cdot(-3y^{2}) = y^{2} e^{-y^{3}}.
Confere exatamente o integrando. Dica final: sempre que vir uma função composta f(g(y)) e a derivada de g(y) (ou uma constante vezes ela) aparecer no integrando, pense em substituição — salva tempo na prova. Força aí — tu consegue!

Resposta

-\dfrac{1}{3}e^{-y^{3}}+C

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