Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
por . - Deve-se usar técnicas de substituição ou por partes (qualquer uma serve, mas só é pedido para calcular a integral).
Passo 2
Escolha do método (curtinha e prática): vou usar substituição. Por quê? Porque dentro da exponencial aparece
e a derivada de
é
; isto é, a parte
aparece multiplicando uma função de
. Esse é o padrão clássico que torna a substituição direta e simples.
Explicando a técnica de substituição (passo-a-passo didático):
- Se a integral tem a forma
, então podemos fazer , obter e reduzir a integral para . - Aqui a ideia é “isolar” uma função interna
cuja derivada apareça (até multiplicada por constante) no integrando; isso transforma a integral numa integral mais simples em .
Passo 3
Definimos a substituição. Vou escolher
Agora calculo o diferencial
:
Isolando
em função de
obtemos
Passo 4
Fazer a troca na integral. Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Calcular a integral em
. Lembrando que
, então
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 6
Voltar para a variável
substituindo
:
Esse é o resultado da integral.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivar a resposta para checar se retorna ao integrando.
Confere exatamente o integrando. Dica final: sempre que vir uma função composta
e a derivada de
(ou uma constante vezes ela) aparecer no integrando, pense em substituição — salva tempo na prova. Força aí — tu consegue!