Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Quer-se uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) da função dada, acrescentando a constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (por que prestar atenção nisso): muitas integrais ficam fáceis quando conseguimos ver uma função e sua derivada presentes no integrando. Aqui há um produto de potências de
e
; note que a derivada de
envolve exatamente
. Vamos confirmar isso de forma clara.
Derivando
a partir de
usando a regra do quociente:
Portanto
Essa identidade é a chave:
aparece no integrando e é (menos) a diferencial de
. Isso sugere a substituição
.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Então, diferenciando ambos os lados,
Isolando
obtemos
Agora substituímos na integral original. Como
, temos:
Passo 4
Calcular a integral em
. Usando a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, logo
Passo 5
Voltar para a variável
substituindo
:
Pronto — essa é uma primitiva da função dado.
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): derivando a resposta obtida deve voltar ao integrando. Diferenciando
pelo uso da regra da cadeia:
o que confere com o integrando original.