6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \operatorname{cotg}^{3} \theta \operatorname{cossec}^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cot^3\theta \,\csc^2\theta \, d\theta.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável de integração é \theta.
  • O integrando é \cot^3\theta \,\csc^2\theta.
  • Quer-se uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) da função dada, acrescentando a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (por que prestar atenção nisso): muitas integrais ficam fáceis quando conseguimos ver uma função e sua derivada presentes no integrando. Aqui há um produto de potências de \cot\theta e \csc\theta; note que a derivada de \cot\theta envolve exatamente \csc^2\theta. Vamos confirmar isso de forma clara.
Derivando \cot\theta a partir de \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} usando a regra do quociente:
\frac{d}{d\theta}\cot\theta = \frac{(-\sin\theta)\sin\theta - \cos\theta\cos\theta}{\sin^2\theta} = -\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = -\frac{1}{\sin^2\theta} = -\csc^2\theta.
Portanto
\frac{d}{d\theta}\cot\theta = -\csc^2\theta.
Essa identidade é a chave: \csc^2\theta\,d\theta aparece no integrando e é (menos) a diferencial de \cot\theta. Isso sugere a substituição u=\cot\theta.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u=\cot\theta.
Então, diferenciando ambos os lados,
du = \frac{d}{d\theta}\cot\theta \, d\theta = -\csc^2\theta \, d\theta.
Isolando \csc^2\theta\,d\theta obtemos
\csc^2\theta \, d\theta = -du.
Agora substituímos na integral original. Como \cot^3\theta = u^3, temos:
\int \cot^3\theta \,\csc^2\theta \, d\theta = \int u^3 \cdot (-du) = -\int u^3 \, du.

Passo 4

Calcular a integral em u. Usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=3, logo
-\int u^3 \, du = -\left(\frac{u^{4}}{4}\right) + C = -\frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 5

Voltar para a variável \theta substituindo u=\cot\theta:
-\frac{u^{4}}{4} + C = -\frac{\cot^4\theta}{4} + C.
Pronto — essa é uma primitiva da função dado.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): derivando a resposta obtida deve voltar ao integrando. Diferenciando -\dfrac{\cot^4\theta}{4} pelo uso da regra da cadeia:
\frac{d}{d\theta}\left(-\frac{\cot^4\theta}{4}\right) = -\frac{1}{4}\cdot 4\cot^3\theta\cdot\frac{d}{d\theta}\cot\theta = -\cot^3\theta\cdot(-\csc^2\theta) = \cot^3\theta\,\csc^2\theta,
o que confere com o integrando original.

Resposta

-\frac{\cot^4\theta}{4} + C

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