Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
7.
7.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante
. A equação dada é
As informações relevantes que temos:
- O coeficiente de
é . - O termo não homogêneo é
.
O objetivo é encontrar a solução geral.
Passo 2
Ideia do método do fator integrante (mini-aula): para uma equação linear da forma
define-se o fator integrante
A razão disso é a seguinte: ao multiplicar a equação por
obtém-se
Se escolhemos
tal que
, então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Assim a equação vira
, que se integra diretamente. Essa é a chave do método.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso: como
,
Então
. Observação:
, como queríamos.
Passo 4
Multiplicamos a equação dada por
. Fazendo isso:
Pelo passo anterior o lado esquerdo é a derivada do produto
. Então a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Vamos calcular a integral. Use substituição simples:
. Portanto
Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
multiplicando por
:
Podemos escrever a solução geral como
onde
é constante real. Interpretação rápida:
é uma solução particular (constante) e
é a solução geral da homogênea
.
Passo 7
Verificação (checagem rápida para não ficar com dúvida): se
então
Logo
o que confirma que é solução da equação original. Boa — está correta!