Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
7. y^{\prime}-4 y=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. A equação dada é
y' - 4y = 8.
As informações relevantes que temos:
  • O coeficiente de y é p(x) = -4.
  • O termo não homogêneo é q(x)=8.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Ideia do método do fator integrante (mini-aula): para uma equação linear da forma
y' + p(x)\,y = q(x)
define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A razão disso é a seguinte: ao multiplicar a equação por \mu(x) obtém-se
\mu y' + \mu p y.
Se escolhemos \mu tal que \mu' = p\mu, então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\mu y' + \mu p y = (\mu y)'.
Assim a equação vira (\mu y)' = \mu q, que se integra diretamente. Essa é a chave do método.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso: como p(x)=-4,
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -4\,dx}=e^{-4x}.
Então \mu(x)=e^{-4x}. Observação: \mu'(x) = -4 e^{-4x} = p(x)\mu(x), como queríamos.

Passo 4

Multiplicamos a equação dada por \mu(x)=e^{-4x}. Fazendo isso:
e^{-4x}y' - 4e^{-4x}y = 8e^{-4x}.
Pelo passo anterior o lado esquerdo é a derivada do produto (e^{-4x}y)'. Então a equação fica
\bigl(e^{-4x}y\bigr)' = 8e^{-4x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-4x}y = \int 8e^{-4x}\,dx + C.
Vamos calcular a integral. Use substituição simples: \int e^{-4x}\,dx = \frac{e^{-4x}}{-4}. Portanto
\int 8e^{-4x}\,dx = 8\cdot\frac{e^{-4x}}{-4} = -2e^{-4x}.
Assim
e^{-4x}y = -2e^{-4x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por e^{4x}:
y = -2 + C e^{4x}.
Podemos escrever a solução geral como
y(x)=C e^{4x}-2,
onde C é constante real. Interpretação rápida: -2 é uma solução particular (constante) e C e^{4x} é a solução geral da homogênea y'-4y=0.

Passo 7

Verificação (checagem rápida para não ficar com dúvida): se y(x)=C e^{4x}-2 então
y' = 4C e^{4x}.
Logo
y'-4y = 4C e^{4x} -4(C e^{4x}-2) = 8,
o que confirma que é solução da equação original. Boa — está correta!

Resposta

y(x)=C e^{4x}-2

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