3^{\text {a }} - Demonstre a partir da Equação de Ampere-Maxwell a Equação da Continuidade Elétrica ( 2,0 ptos).

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar, a partir da Equação de Ampere–Maxwell, a Equação da Continuidade Elétrica.
Informações/dados que vamos usar (fornecidos ou necessários):
  • A Equação de Ampere–Maxwell no formato diferencial (forma local).
  • A Lei de Gauss (Equação de Gauss) para o campo elétrico, necessária para relacionar \nabla\cdot\mathbf{E} com a densidade de carga \rho.
  • A identidade vetorial \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0.
O que queremos obter: a Equação da Continuidade elétrica em sua forma diferencial, isto é \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0.

Passo 2

Escrevo explicitamente a Equação de Ampere–Maxwell na forma diferencial (unidades SI):
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\,\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Aqui:
  • \mathbf{B}(\mathbf{r},t) é o campo magnético,
  • \mathbf{E}(\mathbf{r},t) é o campo elétrico,
  • \mathbf{J}(\mathbf{r},t) é a densidade de corrente (vetor),
  • \rho(\mathbf{r},t) é a densidade de carga (escalar),
  • \mu_0 e \varepsilon_0 são a permeabilidade e a permissividade do vácuo, respectivamente.

Passo 3

Aplico a divergência em ambos os lados da equação acima. Isso é permitido porque divergência é um operador linear e pode ser aplicado ponto a ponto:
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr)=\nabla\cdot\bigl(\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\bigr).
Usando linearidade:
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr)=\mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\,\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 4

Uso a identidade vetorial fundamental \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0. Essa identidade decorre da comutatividade das derivadas parciais (ou pode ser vista escrevendo em componentes e usando o símbolo de Levi-Civita). Assim o lado esquerdo é zero, e obtemos:
0=\mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\,\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Como a divergência e a derivada temporal comutam (são operações independentes de variável), temos
\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr).
Dividindo por \mu_0 e substituindo:
0=\nabla\cdot\mathbf{J}+\varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr).

Passo 5

Agora uso a Lei de Gauss na forma diferencial, que relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade de carga:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Substituo essa relação em \varepsilon_0\,\dfrac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr):
\varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr)=\varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right)=\frac{\partial\rho}{\partial t}.
Logo a equação do passo anterior fica
0=\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}.
Reorganizando,
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0.

Passo 6

Interpretação física e forma integral (para fixar a ideia): integrar a equação diferencial acima sobre um volume V e usar o teorema da divergência dá
\frac{d}{dt}\int_V \rho\,dV+\oint_{\partial V}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}=0.
Isso diz: taxa de variação da carga no volume V mais o fluxo de corrente saindo pela superfície \partial V é zero — ou seja, a carga que some/entra no volume corresponde à corrente que passa pela superfície. É a expressão da conservação local da carga elétrica.

Resposta

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0

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