- Demonstre a partir da Equação de Ampere-Maxwell a Equação da Continuidade Elétrica ( 2,0 ptos).
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar, a partir da Equação de Ampere–Maxwell, a Equação da Continuidade Elétrica.
Informações/dados que vamos usar (fornecidos ou necessários):
Informações/dados que vamos usar (fornecidos ou necessários):
- A Equação de Ampere–Maxwell no formato diferencial (forma local).
- A Lei de Gauss (Equação de Gauss) para o campo elétrico, necessária para relacionar
com a densidade de carga . - A identidade vetorial
.
O que queremos obter: a Equação da Continuidade elétrica em sua forma diferencial, isto é
.
Passo 2
Escrevo explicitamente a Equação de Ampere–Maxwell na forma diferencial (unidades SI):
Aqui:
-
é o campo magnético, -
é o campo elétrico, -
é a densidade de corrente (vetor), -
é a densidade de carga (escalar), -
e são a permeabilidade e a permissividade do vácuo, respectivamente.
Passo 3
Aplico a divergência em ambos os lados da equação acima. Isso é permitido porque divergência é um operador linear e pode ser aplicado ponto a ponto:
Usando linearidade:
Passo 4
Uso a identidade vetorial fundamental
. Essa identidade decorre da comutatividade das derivadas parciais (ou pode ser vista escrevendo em componentes e usando o símbolo de Levi-Civita). Assim o lado esquerdo é zero, e obtemos:
Como a divergência e a derivada temporal comutam (são operações independentes de variável), temos
Dividindo por
e substituindo:
Passo 5
Agora uso a Lei de Gauss na forma diferencial, que relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade de carga:
Substituo essa relação em
:
Logo a equação do passo anterior fica
Reorganizando,
Passo 6
Interpretação física e forma integral (para fixar a ideia): integrar a equação diferencial acima sobre um volume
e usar o teorema da divergência dá
Isso diz: taxa de variação da carga no volume
mais o fluxo de corrente saindo pela superfície
é zero — ou seja, a carga que some/entra no volume corresponde à corrente que passa pela superfície. É a expressão da conservação local da carga elétrica.