A cada minuto, 69.500 \mathrm{~m}^{3} de água passam sobre uma cachoeira de altura 92,0 \mathrm{~m}. Suponha que 60,0 \% da energia cinética adquirida pela água durante a queda seja convertida em energia elétrica por um gerador hidrelétrico. Determine a potência de saída do gerador. Considere a densidade da água igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Vazão volumétrica de água: 69{.}500\\ \mathrm{m^{3}} por minuto.
  • Altura da queda: 92{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Rendimento do gerador (fração da energia convertida em elétrica): 60{,}0\% (ou seja \eta=0{,}600).
  • Densidade da água: 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pergunta: determinar a potência de saída do gerador (potência elétrica entregue), em watts.
Anotações importantes que vou usar depois:
  • Precisarei converter a vazão por minuto para vazão por segundo (para achar potência em \mathrm{W}=\mathrm{J/s}).
  • A energia potencial gravitacional perdida por uma massa m que cai de altura h é m g h. Para uma vazão de massa \dot{m} (kg/s), a energia por segundo disponível é \dot{m} g h. Com rendimento \eta a potência elétrica é \eta \dot{m} g h.

Passo 2

Converter a vazão volumétrica em vazão de massa por segundo. Primeiro, massa que passa por minuto:
\text{massa por minuto} = \rho \times V_{\text{min}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 69{.}500\\ \mathrm{m^{3}} = 69{.}500{.}000\\ \mathrm{kg/min}.
Agora converto para kg por segundo dividindo por 60:
\dot{m}=\frac{69{.}500{.}000}{60}\\ \mathrm{kg/s}=1{.}158{.}333{,}333\ldots\\ \mathrm{kg/s}.
Para facilitar os cálculos vou usar \dot{m}=1{.}158{.}333{,}33\times 10^{6}\\ \mathrm{kg/s} (ou manter o valor exato fracionário se preferir).
Breve explicação / reforço: densidade \rho relaciona massa e volume por \;m=\rho V\;. Como foi dada vazão em volume por minuto, multiplicamos por \rho para obter massa por minuto e depois dividimos por 60 para achar massa por segundo, que é o que entra na fórmula de potência (energia por segundo).

Passo 3

Energia disponível por segundo (potência mecânica bruta) dada pela queda da água é
P_{\text{mec}}=\dot{m}\,g\,h,
onde:
  • \dot{m} é a vazão de massa em \mathrm{kg/s},
  • g é a aceleração da gravidade (uso g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a altura em \mathrm{m}.
Calculo g h:
g h = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}\times 92{,}0\\ \mathrm{m}=901{,}6\\ \mathrm{J/kg}.
Agora multiplico por \dot{m}:
P_{\text{mec}} = 1{.}158{.}333{,}333\ldots\\ \mathrm{kg/s}\times 901{,}6\\ \mathrm{J/kg} = 1{.}044{.}353{,}333\times10^{9}\\ \mathrm{W}.
(ou seja, aproximadamente 1,044\times10^{9}\\ \mathrm{W} de potência mecânica disponível antes das perdas).
Comentário didático: cada quilograma de água ao cair perde g h joules; multiplicando pelo número de quilogramas por segundo obtemos joules por segundo = watts.

Passo 4

Aplicar o rendimento do gerador: apenas 60{,}0\% da potência mecânica vira potência elétrica. Então
P_{\text{el}}=\eta\,P_{\text{mec}}=0{,}600\times 1{.}044{.}353{,}333\times10^{9}\\ \mathrm{W}.
Fazendo a conta:
P_{\text{el}}=6{,}266{.}120{,}000\times10^{8}\\ \mathrm{W}=6{,}26612\times10^{8}\\ \mathrm{W}.
Arredondando com base nos algarismos significativos dos dados (aproximadamente 3 algarismos relevantes), podemos escrever
P_{\text{el}}\approx 6{,}27\times10^{8}\\ \mathrm{W}.
Verificação de ordem de grandeza: isso corresponde a cerca de 627\\ \mathrm{MW}, que é coerente com grandes usinas hidrelétricas.

Passo 5

Resumo final em unidades práticas:
  • Potência elétrica calculada: P_{\text{el}}\approx 6{,}27\times10^{8}\\ \mathrm{W}.
  • Em megawatts: P_{\text{el}}\approx 627\\ \mathrm{MW}.

Resposta

6{,}27\times10^{8}\\ \mathrm{W}

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