) Determine os autovalores, os autovetores e as multiplicidades algébricas e geométricas de cada autovalor de
. Seja
um conjunto formado pelos autovetores de
, verifique se
é uma base do
e caso afirmativo determine
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos a transformação linear
definida por
O enunciado pede:
- Determinar os autovalores (eigenvalues) de
. - Determinar os autovetores (eigenvectors) correspondentes a cada autovalor.
- Determinar as multiplicidades algébricas e geométricas de cada autovalor.
- Seja
o conjunto formado pelos autovetores de : verificar se é uma base de . - Se
for base, determinar a matriz de na base , isto é .
Passo 2
Escrever
como matriz na base canônica para facilitar cálculos. Se tomarmos a base canônica
e
, calculamos
e
:
Logo a matriz de
na base canônica é
porque as colunas são
e
.]
Passo 3
Definição e procedimento para encontrar autovalores. Um autovalor
e um autovetor não nulo
satisfazem
, que em termos da matriz
é
. Os autovalores são raízes do polinômio característico
. Vamos calcular
.
Passo 4
Cálculo do polinômio característico. Escrevemos
O determinante é
Vamos desenvolver passo a passo:
Subtraindo
obtemos
O polinômio característico é
. As soluções de
são
Portanto os autovalores são
e
.]
Passo 5
Multiplicidade algébrica. A multiplicidade algébrica de um autovalor é a multiplicidade da raiz correspondente no polinômio característico. Como
se fatoriza como
com cada fator simples, ambas as raízes têm multiplicidade algébrica
:
Passo 6
Cálculo dos autovetores para
. Precisamos resolver
. Escrevendo
,
Das equações da primeira linha obtemos
A segunda equação é dependente da primeira (deveria ser, pois o determinante é zero), então a solução geral do sistema é
Escolhemos um autovetor não nulo simples, por exemplo
que satisfaz
.]
Passo 7
Cálculo dos autovetores para
. Resolvendo
, ou explicitamente
Da primeira linha vem
Assim a solução geral é
Escolhemos um autovetor não nulo:
que satisfaz
.]
Passo 8
Multiplicidades geométricas. A multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço próprio (o núcleo de
). Para cada autovalor acima resolvemos e obtivemos uma família unidimensional de autovetores (um parâmetro
), então
Passo 9
Verificar se
é base de
. Dois vetores em
formam base se e só se são linearmente independentes. Uma forma direta e clássica de ver independência é usar que autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Alternativamente podemos verificar diretamente: suponha
. Aplicando
e usando
obtemos
. Subtraindo
vezes a primeira combinação, temos
. Como
e
, concluímos
; similarmente
. Logo
e
são linearmente independentes e portanto
é uma base de
.
Passo 10
Matriz de
na base
. Quando temos uma base formada por autovetores, a matriz de
nessa base é diagonal cujas entradas diagonais são os autovalores correspondentes, na ordem dos vetores da base. Como escolhemos
com
e
, os vetores coluna de
são as coordenadas de
e
em
:
Resposta
Autovalores:
(cada um com multiplicidade algébrica
e multiplicidade geométrica
).\n
Autovetores: para
qualquer múltiplo de
; para
qualquer múltiplo de
.\n
é base de
(os dois autovetores são linearmente independentes) e