4
) O traço de uma matriz
é a soma dos elementos da diagonal principal, representamos por
. Mostre que
é o polinômio caraterístico da matriz
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
e lembra que a “traco” (traço) de
é a soma dos elementos da diagonal principal, representada por
. A tarefa é mostrar que
é o polinômio característico da matriz
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- os elementos da matriz são
; -
é a soma dos elementos da diagonal principal; -
é o determinante da matriz (a ser usado na expressão).
Passo 2
Definição usada (a base do raciocínio): o polinômio característico de uma matriz
é definido por
onde
é a matriz identidade
e
é uma variável escalar. Aqui
significa subtrair
de
vezes a identidade.
Passo 3
Calculemos explicitamente a matriz
. A identidade
é
, então
Subtraindo
obtemos
Passo 4
Lembrando a fórmula do determinante para uma matriz
:
Aplicando essa fórmula à matriz
temos
Passo 5
Agora desenvolvemos a expressão passo a passo. Primeiro multiplicamos os dois fatores:
Em seguida, observamos o produto dos termos fora da diagonal:
Substituindo esses resultados em
obtemos
Passo 6
Simplificamos agrupando os termos constantes:
Agora identificamos as quantidades usuais:
e
Substituindo essas identidades na expressão obtemos
Passo 7
Comentário didático e exemplo rápido para fixar: para qualquer matriz
essa conta funciona do mesmo jeito porque a definição do polinômio característico é sempre
e o determinante de
tem a forma
. Exemplo concreto: para
temos
e
, então
o que sai direto da fórmula que provamos.]
Passo 8
Conclusão: calculando
de forma direta chegamos exatamente à expressão pedida, portanto a fórmula apresentada é o polinômio característico da matriz
.