4 { }^{\text {a) }} ) O traço de uma matriz N é a soma dos elementos da diagonal principal, representamos por \operatorname{tr} N. Mostre que p_{N}(t)=t^{2}-(\operatorname{tr} N) t+\operatorname{det}(N) é o polinômio caraterístico da matriz
N=\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
N=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
e lembra que a “traco” (traço) de N é a soma dos elementos da diagonal principal, representada por \operatorname{tr}N. A tarefa é mostrar que
p_{N}(t)=t^{2}-(\operatorname{tr}N)\,t+\det(N)
é o polinômio característico da matriz N.
Informações relevantes dadas:
  • os elementos da matriz são a,b,c,d;
  • \operatorname{tr}N é a soma dos elementos da diagonal principal;
  • \det(N) é o determinante da matriz N (a ser usado na expressão).

Passo 2

Definição usada (a base do raciocínio): o polinômio característico de uma matriz N é definido por
p_{N}(t)=\det\bigl(tI-N\bigr),
onde I é a matriz identidade 2\times2 e t é uma variável escalar. Aqui tI-N significa subtrair N de t vezes a identidade.

Passo 3

Calculemos explicitamente a matriz tI-N. A identidade 2\times2 é \displaystyle I=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}, então
tI=\begin{pmatrix}t&0\\[2pt]0&t\end{pmatrix}.
Subtraindo N obtemos
tI-N=\begin{pmatrix}t-a & -b \\[2pt] -c & t-d\end{pmatrix}.]

Passo 4

Lembrando a fórmula do determinante para uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}p & q \\[2pt] r & s\end{pmatrix}=ps-qr.
Aplicando essa fórmula à matriz tI-N temos
p_{N}(t)=\det\begin{pmatrix}t-a & -b \\[2pt] -c & t-d\end{pmatrix}=(t-a)(t-d)-(-b)(-c).]

Passo 5

Agora desenvolvemos a expressão passo a passo. Primeiro multiplicamos os dois fatores:
(t-a)(t-d)=t\cdot t - t\cdot d - a\cdot t + a d = t^{2}-(a+d)t+ad.
Em seguida, observamos o produto dos termos fora da diagonal:
(-b)(-c)=bc.
Substituindo esses resultados em p_{N}(t) obtemos
p_{N}(t)=\bigl[t^{2}-(a+d)t+ad\bigr]-bc.

Passo 6

Simplificamos agrupando os termos constantes:
p_{N}(t)=t^{2}-(a+d)t+(ad-bc).
Agora identificamos as quantidades usuais:
\operatorname{tr}N=a+d
e
\det(N)=ad-bc.
Substituindo essas identidades na expressão obtemos
p_{N}(t)=t^{2}-(\operatorname{tr}N)\,t+\det(N).

Passo 7

Comentário didático e exemplo rápido para fixar: para qualquer matriz 2\times2 essa conta funciona do mesmo jeito porque a definição do polinômio característico é sempre \det(tI-N) e o determinante de 2\times2 tem a forma ps-qr. Exemplo concreto: para N=\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]3&4\end{pmatrix} temos \operatorname{tr}N=1+4=5 e \det(N)=1\cdot4-2\cdot3=-2, então
p_{N}(t)=t^{2}-5t-2,
o que sai direto da fórmula que provamos.]

Passo 8

Conclusão: calculando \det(tI-N) de forma direta chegamos exatamente à expressão pedida, portanto a fórmula apresentada é o polinômio característico da matriz N.

Resposta

p_{N}(t)=t^{2}-(\operatorname{tr}N)\,t+\det(N)

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