Questão: Suponha duas esferas condutoras carregadas com carga
e
conectadas por um fio condutor. As esferas têm raios diferentes,
e
(respectivamente;
). Mostre que o campo elétrico nas proximidades da superfície da esfera de raio menor (
) será maior do que o campo elétrico nas proximidades da superfície da esfera de raio maior (
). Este fato é conhecido como o “poder das pontas”, e é usado para induzir descargas (como nos pararaios).
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte (tudo extraído do texto do problema):
- Duas esferas condutoras, com cargas iniciais
e . - Raios das esferas:
e , com . - As esferas são conectadas por um fio condutor (ficam eletricamente ligadas).
O que o problema pede:
- Mostrar que o campo elétrico nas proximidades da superfície da esfera menor,
, é maior do que o campo elétrico nas proximidades da superfície da esfera maior, . Em símbolos: provar que .
Informações físicas relevantes (a serem usadas depois):
- Em equilíbrio eletrostático, condutores conectados têm o mesmo potencial elétrico.
- Para uma esfera condutora isolada (ou quando a influência do outro corpo é desprezível), o campo e o potencial na superfície têm fórmulas simples que vamos usar.
Passo 2
Por que as esferas têm o mesmo potencial quando estão ligadas por um fio?
- Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o potencial elétrico é constante por todo o condutor. Se duas peças condutoras estão conectadas por um fio condutor, cargas se movem até que não haja diferença de potencial entre elas — ou seja, atingem o mesmo potencial elétrico.
- Conclusão matemática: o potencial na superfície da esfera 1 é igual ao potencial na superfície da esfera 2. Vou chamar esse potencial comum de
. Assim:
Passo 3
Fórmulas para uma esfera condutora (recordando e demonstrando rápido passo a passo).
- Considere uma esfera condutora de raio
com carga total . Por simetria esférica, o campo elétrico fora da esfera (para ) é igual ao de uma carga pontual concentrada no centro. Isso pode ser visto usando a Lei de Gauss: a fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio é e deve ser igual a . Logo
- O campo imediatamente fora da superfície (isto é, em
) vale então
- O potencial da superfície, tomando potencial zero no infinito, é a integral (negativa) do campo do infinito até
. Para a esfera dá
- Resumindo as fórmulas úteis que vamos usar:
Passo 4
Aplique a condição de potencial igual às duas esferas.
- Para a esfera 1 (raio
, carga ) e a esfera 2 (raio , carga ) temos, usando a fórmula do passo anterior:
- Cancelando o fator comum
, obtemos a relação simples entre as cargas:
- Ou seja, existe uma constante
tal que
Passo 5
Calcule os campos na superfície de cada esfera e compare.
- Usando
para cada esfera:
- Substituindo
e obtém-se
- Portanto a razão entre os campos é
- Como
pelo enunciado, segue que
ou seja
. Isso demonstra matematicamente o que se pedia.
Passo 6
Interpretação física e comentário prático (o tom “poder das pontas”).
- Resultado físico: para condutores conectados, a esfera de menor raio fica com densidade de carga superficial maior (já que
), logo o campo nas proximidades de superfícies com curvatura maior (pontos mais agudos/menor raio) é maior. - Por isso, pontas e objetos afilados produzem campos locais muito intensos — capazes de ionizar o ar e iniciar descargas. Essa é a base do famoso “poder das pontas” usado em pára-raios e outros dispositivos para controlar onde a descarga vai ocorrer.
- Observação sobre aproximação: a demonstração acima assume que as esferas estão suficientemente separadas para que cada uma possa ser tratada, a bom primeiro aproximação, como uma esfera isolada (ou seja, a influência geométrica mútua é pequena). Para esferas muito próximas a solução exata envolve interações mais complexas, mas o princípio (potencial comum e maior campo em superfícies de menor raio) permanece válido qualitativamente.