\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão: Suponha duas esferas condutoras carregadas com carga \mathrm{q}_{1} e \mathrm{q}_{2} conectadas por um fio condutor. As esferas têm raios diferentes, \mathrm{R}_{1} e \mathrm{R}_{2} (respectivamente; \mathrm{R}_{1}<\mathrm{R}_{2} ). Mostre que o campo elétrico nas proximidades da superfície da esfera de raio menor ( \mathrm{E}_{1} ) será maior do que o campo elétrico nas proximidades da superfície da esfera de raio maior ( \mathrm{E}_{2} ). Este fato é conhecido como o “poder das pontas”, e é usado para induzir descargas (como nos pararaios).

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte (tudo extraído do texto do problema):
  • Duas esferas condutoras, com cargas iniciais \\ q_1 e \\ q_2.
  • Raios das esferas: \\ R_1 e \\ R_2, com \\ R_1<R_2.
  • As esferas são conectadas por um fio condutor (ficam eletricamente ligadas).
O que o problema pede:
  • Mostrar que o campo elétrico nas proximidades da superfície da esfera menor, \\ E_1, é maior do que o campo elétrico nas proximidades da superfície da esfera maior, \\ E_2. Em símbolos: provar que \\ E_1>E_2.
Informações físicas relevantes (a serem usadas depois):
  • Em equilíbrio eletrostático, condutores conectados têm o mesmo potencial elétrico.
  • Para uma esfera condutora isolada (ou quando a influência do outro corpo é desprezível), o campo e o potencial na superfície têm fórmulas simples que vamos usar.

Passo 2

Por que as esferas têm o mesmo potencial quando estão ligadas por um fio?
  • Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o potencial elétrico é constante por todo o condutor. Se duas peças condutoras estão conectadas por um fio condutor, cargas se movem até que não haja diferença de potencial entre elas — ou seja, atingem o mesmo potencial elétrico.
  • Conclusão matemática: o potencial na superfície da esfera 1 é igual ao potencial na superfície da esfera 2. Vou chamar esse potencial comum de \\ V. Assim:
V_1 = V_2 = V.

Passo 3

Fórmulas para uma esfera condutora (recordando e demonstrando rápido passo a passo).
  • Considere uma esfera condutora de raio \\ R com carga total \\ q. Por simetria esférica, o campo elétrico fora da esfera (para \\ r\ge R) é igual ao de uma carga pontual \\ q concentrada no centro. Isso pode ser visto usando a Lei de Gauss: a fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio \\ r é \\ E(4\pi r^2) e deve ser igual a \\ q/\varepsilon_0. Logo
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\quad\text{para }r\ge R.
  • O campo imediatamente fora da superfície (isto é, em \\ r=R) vale então
E_{\text{superf}}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}.
  • O potencial da superfície, tomando potencial zero no infinito, é a integral (negativa) do campo do infinito até \\ R. Para a esfera dá
V=\int_{\infty}^{R} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}.
  • Resumindo as fórmulas úteis que vamos usar:
E_{\text{superf}}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2},\qquad V=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}.

Passo 4

Aplique a condição de potencial igual às duas esferas.
  • Para a esfera 1 (raio \\ R_1, carga \\ q_1) e a esfera 2 (raio \\ R_2, carga \\ q_2) temos, usando a fórmula do passo anterior:
V=\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 R_1}=\frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_2}.
  • Cancelando o fator comum \\\ 1/(4\pi\varepsilon_0), obtemos a relação simples entre as cargas:
\frac{q_1}{R_1}=\frac{q_2}{R_2}.
  • Ou seja, existe uma constante \\ C tal que
q_1=C\,R_1,\qquad q_2=C\,R_2.

Passo 5

Calcule os campos na superfície de cada esfera e compare.
  • Usando \\ E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} para cada esfera:
E_1=\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 R_1^2},\qquad E_2=\frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_2^2}.
  • Substituindo \\ q_1=C R_1 e \\ q_2=C R_2 obtém-se
E_1=\frac{C R_1}{4\pi\varepsilon_0 R_1^2}=\frac{C}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R_1}, \qquad E_2=\frac{C}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R_2}.
  • Portanto a razão entre os campos é
\frac{E_1}{E_2}=\frac{(C/(4\pi\varepsilon_0))(1/R_1)}{(C/(4\pi\varepsilon_0))(1/R_2)}=\frac{R_2}{R_1}.
  • Como \\ R_2>R_1 pelo enunciado, segue que
\frac{E_1}{E_2}=\frac{R_2}{R_1}>1,
ou seja \\ E_1>E_2. Isso demonstra matematicamente o que se pedia.

Passo 6

Interpretação física e comentário prático (o tom “poder das pontas”).
  • Resultado físico: para condutores conectados, a esfera de menor raio fica com densidade de carga superficial maior (já que \sigma= \varepsilon_0 E), logo o campo nas proximidades de superfícies com curvatura maior (pontos mais agudos/menor raio) é maior.
  • Por isso, pontas e objetos afilados produzem campos locais muito intensos — capazes de ionizar o ar e iniciar descargas. Essa é a base do famoso “poder das pontas” usado em pára-raios e outros dispositivos para controlar onde a descarga vai ocorrer.
  • Observação sobre aproximação: a demonstração acima assume que as esferas estão suficientemente separadas para que cada uma possa ser tratada, a bom primeiro aproximação, como uma esfera isolada (ou seja, a influência geométrica mútua é pequena). Para esferas muito próximas a solução exata envolve interações mais complexas, mas o princípio (potencial comum e maior campo em superfícies de menor raio) permanece válido qualitativamente.

Resposta

E_1>E_2,\qquad \frac{E_1}{E_2}=\frac{R_2}{R_1}>1.

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