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Questão: Obtenha uma expressão para a Lei de Gauss que valha na presença de um dielétrico. (Sugestão: use um capacitor de placas planas e paralelas, e carga q , com um dielétrico de constante dielétrica
preenchendo o espaço entre as placas. Assuma que o campo, no dielétrico, modifica-se para
, onde
é a constante dielétrica e
o campo elétrico entre as placas na ausência do dielétrico, e obtenha uma expressão para a carga induzida no dielétrico em função de
).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Obter uma expressão da Lei de Gauss que seja válida na presença de um dielétrico (isto é, a forma apropriada de Gauss quando há material polarizável).
- Usando o caso concreto de um capacitor de placas paralelas com carga
e um dielétrico homogêneo de constante dielétrica preenchendo o espaço entre as placas, e sabendo que o campo no dielétrico é (onde é o campo sem o dielétrico), obter uma expressão para a carga induzida no dielétrico em função de e .
Informações fornecidas e que usarei:
- Capacitor de placas planas e paralelas, área da placa
. - Carga livre numa placa (magnitude)
(a outra placa tem ). - Campo sem dielétrico entre as placas:
. - Campo com dielétrico entre as placas:
. - Constante dielétrica do material:
. Para um dielétrico linear homogêneo, a permissividade do material é .
Passo 2
Relembrando a Lei de Gauss no vácuo (ou sem distinguir cargas): para qualquer superfície fechada
onde
é a carga total envolvida (cargas livres + cargas ligadas/induzidas). Na presença de um dielétrico aparece a distinção entre:
- cargas livres (
), que são as cargas impostas externamente (por exemplo na placa); - cargas ligadas ou induzidas (
), que aparecem dentro do dielétrico devido à polarização.
A polarização do dielétrico é descrita pelo vetor polarização
, definido como dipolo por unidade de volume. Em dielétricos lineares homogêneos relaciona-se ao campo
por
onde
é a susceptibilidade elétrica e está ligada a
por
As cargas ligadas têm duas formas gerais:
- densidade de carga ligada de volume
; - densidade de carga ligada de superfície
(com a normal externa ao dielétrico).
Passo 3
A partir da forma integral de Gauss para
:
Usando a relação entre
e
(teorema da divergência):
Substituindo na expressão de Gauss e multiplicando por
obtemos
Reagrupando os termos no lado esquerdo definimos o campo deslocamento elétrico
e chegamos à forma simples e muito usada da lei de Gauss em meios dielétricos:
Em forma diferencial (local) isso equivale a
Comentário didático curto:
foi construído para que apenas as cargas livres apareçam à direita da lei integral, o que facilita problemas com dielétricos. Para dielétrico linear homogêneo e isotrópico vale também
.
Passo 4
Agora aplicando ao capacitor de placas paralelas. Sem dielétrico, o campo entre placas (assumindo bordas desprezíveis) é
onde
é a densidade de carga livre sobre a placa. Com o dielétrico preenchendo totalmente entre as placas, foi dado que
Para um dielétrico linear homogêneo podemos escrever
Substituindo
achamos
Isto confirma a forma integral:
, ou seja, o fluxo de
pelas superfícies entre as placas dá exatamente a carga livre
.
Passo 5
Agora a carga induzida no dielétrico. Primeiro calculamos a polarização
. Usando
e
,
A densidade de carga ligada de superfície na face do dielétrico que fica adjacente à placa é
Tomando a magnitude (e supondo orientação tal que
tem sinal que corresponde à carga induzida apropriada), substituímos
e obtemos
A carga ligada total numa face do dielétrico (produto da densidade pela área
) é
Quanto ao sinal: se a placa tem carga livre
, a face do dielétrico próxima a essa placa terá carga ligada negativa de magnitude
. Portanto a carga induzida na face do dielétrico adjacente à placa positiva é
Passo 6
Comentários finais e interpretação física:
- Cada face do dielétrico tem carga induzida de mesma magnitude e sinais opostos: uma face adquire
(junto à placa positiva) e a outra face adquire (junto à placa negativa). Assim a soma das cargas ligadas no dielétrico é zero (conservação de carga), mas as cargas ligadas reduzem o campo efetivo entre as placas de para . - Relações úteis resumidas:
(em dielétrico linear), e carga induzida por face (sinal conforme explicado).