3 { }^{\text {a }} Questão: Obtenha uma expressão para a Lei de Gauss que valha na presença de um dielétrico. (Sugestão: use um capacitor de placas planas e paralelas, e carga q , com um dielétrico de constante dielétrica \mathrm{k}_{\mathrm{e}} preenchendo o espaço entre as placas. Assuma que o campo, no dielétrico, modifica-se para \mathrm{E}=\mathrm{E}_{0} / \mathrm{k}_{\mathrm{e}}, onde \mathrm{k}_{\mathrm{e}} é a constante dielétrica e \mathrm{E}_{0} o campo elétrico entre as placas na ausência do dielétrico, e obtenha uma expressão para a carga induzida no dielétrico em função de \mathrm{q} \mathrm{e}_{\mathrm{e}} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Obter uma expressão da Lei de Gauss que seja válida na presença de um dielétrico (isto é, a forma apropriada de Gauss quando há material polarizável).
  • Usando o caso concreto de um capacitor de placas paralelas com carga q e um dielétrico homogêneo de constante dielétrica \,k_e preenchendo o espaço entre as placas, e sabendo que o campo no dielétrico é \,E = E_0 / k_e (onde E_0 é o campo sem o dielétrico), obter uma expressão para a carga induzida no dielétrico em função de q e k_e.
Informações fornecidas e que usarei:
  • Capacitor de placas planas e paralelas, área da placa \,A.
  • Carga livre numa placa (magnitude) \,q (a outra placa tem -q).
  • Campo sem dielétrico entre as placas: E_0.
  • Campo com dielétrico entre as placas: E = E_0/k_e.
  • Constante dielétrica do material: k_e. Para um dielétrico linear homogêneo, a permissividade do material é \varepsilon = \varepsilon_0 k_e.

Passo 2

Relembrando a Lei de Gauss no vácuo (ou sem distinguir cargas): para qualquer superfície fechada
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{total,enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{total,enc}} é a carga total envolvida (cargas livres + cargas ligadas/induzidas). Na presença de um dielétrico aparece a distinção entre:
  • cargas livres ( Q_{\text{free}}), que são as cargas impostas externamente (por exemplo +q na placa);
  • cargas ligadas ou induzidas ( Q_{\text{bound}}), que aparecem dentro do dielétrico devido à polarização.
A polarização do dielétrico é descrita pelo vetor polarização \mathbf{P}, definido como dipolo por unidade de volume. Em dielétricos lineares homogêneos relaciona-se ao campo \mathbf{E} por
\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E},
onde \chi_e é a susceptibilidade elétrica e está ligada a k_e por
k_e=1+\chi_e.
As cargas ligadas têm duas formas gerais:
  • densidade de carga ligada de volume \rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P};
  • densidade de carga ligada de superfície \sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}} (com \hat{\mathbf{n}} a normal externa ao dielétrico).

Passo 3

A partir da forma integral de Gauss para \mathbf{E}:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{free,enc}}+Q_{\text{bound,enc}}}{\varepsilon_0}.
Usando a relação entre Q_{\text{bound,enc}} e \mathbf{P} (teorema da divergência):
Q_{\text{bound,enc}}=\int \rho_b\,dV=-\int (\nabla\cdot\mathbf{P})\,dV=-\oint \mathbf{P}\cdot d\mathbf{A}.
Substituindo na expressão de Gauss e multiplicando por \varepsilon_0 obtemos
\oint \varepsilon_0\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{free,enc}}-\oint \mathbf{P}\cdot d\mathbf{A}.
Reagrupando os termos no lado esquerdo definimos o campo deslocamento elétrico
\mathbf{D}\equiv \varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P},
e chegamos à forma simples e muito usada da lei de Gauss em meios dielétricos:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{free,enc}}.
Em forma diferencial (local) isso equivale a
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{free}}.
Comentário didático curto: \mathbf{D} foi construído para que apenas as cargas livres apareçam à direita da lei integral, o que facilita problemas com dielétricos. Para dielétrico linear homogêneo e isotrópico vale também \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}=\varepsilon_0 k_e \mathbf{E}.

Passo 4

Agora aplicando ao capacitor de placas paralelas. Sem dielétrico, o campo entre placas (assumindo bordas desprezíveis) é
E_0=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{q}{\varepsilon_0 A},
onde \sigma=q/A é a densidade de carga livre sobre a placa. Com o dielétrico preenchendo totalmente entre as placas, foi dado que
E=\frac{E_0}{k_e}=\frac{q}{\varepsilon_0 k_e A}.
Para um dielétrico linear homogêneo podemos escrever
\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}=\varepsilon_0 k_e \mathbf{E}.
Substituindo \mathbf{E} achamos
D = \varepsilon_0 k_e \cdot \frac{q}{\varepsilon_0 k_e A}=\frac{q}{A}.
Isto confirma a forma integral: \oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=D\cdot A=q, ou seja, o fluxo de \mathbf{D} pelas superfícies entre as placas dá exatamente a carga livre q.

Passo 5

Agora a carga induzida no dielétrico. Primeiro calculamos a polarização \mathbf{P}. Usando \mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E} e \chi_e=k_e-1,
\mathbf{P}=\varepsilon_0(k_e-1)\mathbf{E}.
A densidade de carga ligada de superfície na face do dielétrico que fica adjacente à placa é
\sigma_b=\mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}.
Tomando a magnitude (e supondo orientação tal que \sigma_b tem sinal que corresponde à carga induzida apropriada), substituímos \mathbf{E}=\dfrac{q}{\varepsilon_0 k_e A} e obtemos
\sigma_b=\varepsilon_0(k_e-1)\cdot \frac{q}{\varepsilon_0 k_e A}=\frac{q}{A}\,\frac{k_e-1}{k_e}.
A carga ligada total numa face do dielétrico (produto da densidade pela área A) é
Q_{\text{ind,face}}=\sigma_b A = q\frac{k_e-1}{k_e}.
Quanto ao sinal: se a placa tem carga livre +q, a face do dielétrico próxima a essa placa terá carga ligada negativa de magnitude q\frac{k_e-1}{k_e}. Portanto a carga induzida na face do dielétrico adjacente à placa positiva é
Q_{\text{ind}}=-\,q\frac{k_e-1}{k_e}=-q\Bigl(1-\frac{1}{k_e}\Bigr).

Passo 6

Comentários finais e interpretação física:
  • Cada face do dielétrico tem carga induzida de mesma magnitude e sinais opostos: uma face adquire -q\frac{k_e-1}{k_e} (junto à placa positiva) e a outra face adquire +q\frac{k_e-1}{k_e} (junto à placa negativa). Assim a soma das cargas ligadas no dielétrico é zero (conservação de carga), mas as cargas ligadas reduzem o campo efetivo entre as placas de E_0 para E_0/k_e.
  • Relações úteis resumidas: \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\varepsilon\mathbf{E} (em dielétrico linear), \oint\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{free,enc}} e carga induzida por face Q_{\text{ind,face}}= -\,q\bigl(1-\tfrac{1}{k_e}\bigr) (sinal conforme explicado).

Resposta

\displaystyle \oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\mathrm{free,enc}}\quad\text{ou}\quad \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\mathrm{free}},\quad\text{com}\\ \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\varepsilon_0 k_e\mathbf{E}.\n
\displaystyle Q_{\text{ind}}=-\,q\frac{k_e-1}{k_e}=-q\Bigl(1-\frac{1}{k_e}\Bigr)

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