• 3{ }^{\text {a }}\) Questão: Considere o problema de condução de calor \[\begin{cases}u_{t}=3 u_{x x}+5 & , 0<x<\pi \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=1 & , t>0 \\\ u(x, 0)=1 & , 0 \leq x \leq \pi\end{cases}
(i) Suponha quc u(x, t)=v(x)+w(x, t)\] onde \[v(x) é a distribuição de temperatura catacionária e w(x, t) é a distribuição transiente de temperatura. Lembre que w(x, t) e suas derivadas tendem a zero quando t \rightarrow \infty. Além disso, w(x, l) satisfaz o seguinte problema de valor de contorno
\begin{cases}w_{t}=3 w_{x x} & , 0<x<\pi \\\ w(0, t)=w(\pi, t)=0 & , t>0 \\\ w(x, 0)=1-v(x) & , 0 \leq x \leq \pi\end{cases}
Obtenha o problema de valor de contorno para a distribução estacionária de temperatura (v(x)].
(ii) Apresente uma solução formal para o problema.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de condução de calor
\begin{cases} u_{t}=3\,u_{x x}+5, & 0<x<\pi,\\[4pt] u(0,t)=u(\pi,t)=1, & t>0,\\[4pt] u(x,0)=1, & 0\le x\le\pi, \end{cases}
e pede duas coisas:
  • (i) supondo u(x,t)=v(x)+w(x,t) com v estacionária e w transitória (onde w e derivadas vão a zero quando t\to\infty), obter o problema de valor de contorno para v(x);
  • (ii) apresentar uma solução formal para o problema (ou seja, escrever v e w explicitamente, com a série de Fourier adequada).
Informações relevantes dadas:
  • decomposição u(x,t)=v(x)+w(x,t);
  • condição de contorno para u: u(0,t)=u(\pi,t)=1;
  • condição inicial: u(x,0)=1;
  • equação PDE original com termo fonte constante +5;
  • o enunciado já forneceu que w satisfaz
\begin{cases} w_{t}=3\,w_{x x}, & 0<x<\pi,\\[4pt] w(0,t)=w(\pi,t)=0, & t>0,\\[4pt] w(x,0)=1-v(x), & 0\le x\le\pi. \end{cases}]

Passo 2

Interpretação do que significa v(x) ser distribuição estacionária: em regime estacionário a solução não depende do tempo, logo v_{t}\equiv0. Substituir u=v (independente de t) na equação original fornece a equação ordinária que v deve satisfazer. Escrevo isso explicitamente para não pular etapas.
Da PDE original, para u(x,t)=v(x) temos u_t=0 e u_{xx}=v''(x). Portanto v deve satisfazer
0 = 3\,v''(x)+5,\qquad 0<x<\pi,
com as mesmas condições de contorno que u fornece:
v(0)=1,\qquad v(\pi)=1.
Isto já responde (i) em forma de BVP; no próximo passo resolvo essa ODE e explico cada etapa.

Passo 3

Resolver a equação diferencial ordinária
3\,v''(x)+5=0.
Primeiro isolo v'':
v''(x) = -\frac{5}{3}.
Isto é uma ODE de segunda ordem com termo constante. Integro uma vez em x:
v'(x) = -\frac{5}{3}x + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Integro novamente:
v(x) = -\frac{5}{6}x^{2} + C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Agora aplico as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno:
  • v(0)=1 implica
v(0) = -\frac{5}{6}\cdot 0^{2} + C_1\cdot 0 + C_2 = C_2 = 1,
portanto C_2=1.
  • v(\pi)=1 implica
v(\pi) = -\frac{5}{6}\pi^{2} + C_1\pi + 1 = 1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
-\frac{5}{6}\pi^{2} + C_1\pi = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1\pi = \frac{5}{6}\pi^{2}.
Logo
C_1 = \frac{5}{6}\pi.
Substituindo C_1 e C_2 na expressão de v obtemos a solução estacionária explicitada no próximo passo.

Passo 5

Escrever v(x) em forma simplificada:
v(x) = -\frac{5}{6}x^{2} + \frac{5}{6}\pi x + 1.
Fatorando \tfrac{5}{6} fica mais bonito:
v(x) = 1 + \frac{5}{6}\bigl(\pi x - x^{2}\bigr).
Isto resolve a parte (i): o BVP e sua solução.

Passo 6

Agora vamos construir a solução transitória w(x,t)\). O enunciado já indicou que \(w\) satisfaz \[\begin{cases} w_{t}=3\,w_{x x}, & 0<x<\pi,\\[4pt] w(0,t)=w(\pi,t)=0, & t>0,\\[4pt] w(x,0)=1-v(x), & 0\le x\le\pi. \end{cases}
Explico a estratégia didaticamente: para problemas de calor homogêneo com condições de Dirichlet zero usamos separação de variáveis e expansão em série de senos (funções próprias do operador espacial com essas BCs). As funções próprias são \sin(n x)\] com \(n\in\mathbb{N}. Vou mostrar como aparecerem e como determinar os coeficientes.]

Passo 7

Separação de variáveis (esquema rápido e claro):
  • Procura-se soluções do tipo w(x,t)=X(x)T(t).
  • Substituindo em w_t = 3 w_{xx}
X(x)T'(t)=3 X''(x)T(t)\quad\Rightarrow\quad \frac{T'(t)}{3T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda,
onde \lambda é constante de separação (escolhida negativa do lado direito para obter soluções não-triviais satisfazendo as BCs).
  • A equação espacial fica
X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad X(0)=X(\pi)=0.
As condições de contorno homogêneas levam aos autovalores \lambda=n^{2} e autofunções X_n(x)=\sin(n x), n=1,2,\dots.
  • A equação temporal associada é
T'(t) + 3\lambda T(t)=0 \quad\Rightarrow\quad T_n(t)=e^{-3 n^{2} t}.
Assim os modos separados são e^{-3 n^{2} t}\sin(n x). A solução geral (linearidade) é combinação infinita:
w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,e^{-3 n^{2} t}\sin(n x),
onde os coeficientes b_{n} são dados pela série de Fourier seno da condição inicial w(x,0)=f(x), com
f(x)=1-v(x).

Passo 8

Calcular a condição inicial f(x)=1-v(x). Usando v(x)=1+\dfrac{5}{6}(\pi x - x^{2}) temos
f(x)=1-v(x) = -\frac{5}{6}(\pi x - x^{2}) = \frac{5}{6}\bigl(x^{2}-\pi x\bigr).
Os coeficientes de Fourier seno são dados por
b_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(n x)\,dx.
Substituo f(x):
b_{n} = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{5}{6}\int_{0}^{\pi}\bigl(x^{2}-\pi x\bigr)\sin(n x)\,dx = \frac{5}{3\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(x^{2}-\pi x\bigr)\sin(n x)\,dx.

Passo 9

Calcular a integral
I_n=\int_{0}^{\pi}\bigl(x^{2}-\pi x\bigr)\sin(n x)\,dx = \int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(n x)\,dx - \pi\int_{0}^{\pi}x\sin(n x)\,dx.
Faço as duas integrais separadamente com partes (detalhando para que fique claro como fazer na prova).
Primeiro
\int_{0}^{\pi}x\sin(n x)\,dx.
Usando integração por partes com u=x, dv=\sin(n x)dx (logo du=dx, v=-\cos(n x)/n) obtemos
\int_{0}^{\pi}x\sin(n x)\,dx = \left[-\frac{x\cos(n x)}{n}\right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(n x)\,dx.
A segunda integral é \dfrac{\sin(n x)}{n}\Big|_{0}^{\pi}=0, e o termo de fronteira dá -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\dfrac{\pi(-1)^{n}}{n}. Portanto
\int_{0}^{\pi}x\sin(n x)\,dx = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Agora
\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(n x)\,dx.
Faço por partes com u=x^{2}, dv=\sin(n x)dx (então du=2x\,dx, v=-\cos(n x)/n):
\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(n x)\,dx = \left[-\frac{x^{2}\cos(n x)}{n}\right]_{0}^{\pi} + \frac{2}{n}\int_{0}^{\pi}x\cos(n x)\,dx.
O primeiro termo é -\dfrac{\pi^{2}\cos(n\pi)}{n} = -\dfrac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}.
Para \int_{0}^{\pi}x\cos(n x)\,dx faço partes com u=x, dv=\cos(n x)dx (logo du=dx, v=\sin(n x)/n):
\int_{0}^{\pi}x\cos(n x)\,dx = \left[\frac{x\sin(n x)}{n}\right]_{0}^{\pi} - \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(n x)\,dx.
O primeiro termo é zero porque \sin(n\pi)=0. A integral \int_{0}^{\pi}\sin(n x)\,dx = \dfrac{1-(-1)^{n}}{n}. Portanto
\int_{0}^{\pi}x\cos(n x)\,dx = -\frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}.
Volto a \int x^{2}\sin(nx):
\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(n x)\,dx = -\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n} + \frac{2}{n}\left(-\frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}\right) = -\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n} - \frac{2\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}}.
Agora monto I_n:
I_n = \left(-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n} - \frac{2(1-(-1)^{n})}{n^{3}}\right) - \pi\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right).
Observe que os termos em \pi^{2}(-1)^{n}/n se cancelam:
I_n = -\frac{2\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}}.

Passo 10

Voltar aos coeficientes:
b_{n} = \frac{5}{3\pi} I_n = \frac{5}{3\pi}\left(-\frac{2\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}}\right) = -\frac{10}{3\pi}\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{n^{3}}.
Note a simplificação com paridade: para n par temos 1-(-1)^{n}=0 então b_{n}=0; para n ímpar temos 1-(-1)^{n}=2, então
b_{n} = -\frac{20}{3\pi}\cdot\frac{1}{n^{3}}\quad\text{quando \(n\) é ímpar.}éí
Portanto a série contém apenas termos de senos ímpares.

Passo 11

Escrever a solução completa u(x,t)=v(x)+w(x,t) com os coeficientes obtidos. Substituindo v(x) e b_{n} temos
w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,e^{-3 n^{2} t}\sin(n x) = -\frac{10}{3\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^{n}}{n^{3}}\,e^{-3 n^{2} t}\sin(n x).
Eliminando os termos pares, uma forma compacta (índices ímpares n=2k+1) é
w(x,t) = -\frac{20}{3\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{3}}\,e^{-3(2k+1)^{2} t}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).
Finalmente
u(x,t) = 1 + \frac{5}{6}\bigl(\pi x - x^{2}\bigr) - \frac{20}{3\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{3}}\,e^{-3(2k+1)^{2} t}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).

Resposta

(i) \begin{cases} 3\,v''(x)+5=0, & 0<x<\pi,\\[4pt] v(0)=1,\\ v(\pi)=1, \end{cases} \qquad\text{com solução}\qquad v(x)=1+\frac{5}{6}\bigl(\pi x - x^{2}\bigr).çã
(ii) u(x,t)=1+\frac{5}{6}\bigl(\pi x - x^{2}\bigr)-\frac{20}{3\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{3}}\,e^{-3(2k+1)^{2} t}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).]

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