3{ }^{\text {a }}\) Questão: Considere o problema de condução de calor
\[\begin{cases}u_{t}=3 u_{x x}+5 & , 0<x<\pi \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=1 & , t>0 \\\ u(x, 0)=1 & , 0 \leq x \leq \pi\end{cases}
(i) Suponha quc u(x, t)=v(x)+w(x, t)\] onde \[v(x) é a distribuição de temperatura catacionária e w(x, t) é a distribuição transiente de temperatura. Lembre que w(x, t) e suas derivadas tendem a zero quando t \rightarrow \infty. Além disso, w(x, l) satisfaz o seguinte problema de valor de contorno
(i) supondo u(x,t)=v(x)+w(x,t) com v estacionária e w transitória (onde w e derivadas vão a zero quando t\to\infty), obter o problema de valor de contorno para v(x);
(ii) apresentar uma solução formal para o problema (ou seja, escrever v e w explicitamente, com a série de Fourier adequada).
Informações relevantes dadas:
decomposição u(x,t)=v(x)+w(x,t);
condição de contorno para u: u(0,t)=u(\pi,t)=1;
condição inicial: u(x,0)=1;
equação PDE original com termo fonte constante +5;
Interpretação do que significa v(x) ser distribuição estacionária: em regime estacionário a solução não depende do tempo, logo v_{t}\equiv0. Substituir u=v (independente de t) na equação original fornece a equação ordinária que v deve satisfazer. Escrevo isso explicitamente para não pular etapas.
Da PDE original, para u(x,t)=v(x) temos u_t=0 e u_{xx}=v''(x). Portanto v deve satisfazer
0 = 3\,v''(x)+5,\qquad 0<x<\pi,
com as mesmas condições de contorno que u fornece:
v(0)=1,\qquad v(\pi)=1.
Isto já responde (i) em forma de BVP; no próximo passo resolvo essa ODE e explico cada etapa.
Passo 3
Resolver a equação diferencial ordinária
3\,v''(x)+5=0.
Primeiro isolo v'':
v''(x) = -\frac{5}{3}.
Isto é uma ODE de segunda ordem com termo constante. Integro uma vez em x:
v'(x) = -\frac{5}{3}x + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Integro novamente:
v(x) = -\frac{5}{6}x^{2} + C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Agora aplico as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.
Substituindo C_1 e C_2 na expressão de v obtemos a solução estacionária explicitada no próximo passo.
Passo 5
Escrever v(x) em forma simplificada:
v(x) = -\frac{5}{6}x^{2} + \frac{5}{6}\pi x + 1.
Fatorando \tfrac{5}{6} fica mais bonito:
v(x) = 1 + \frac{5}{6}\bigl(\pi x - x^{2}\bigr).
Isto resolve a parte (i): o BVP e sua solução.
Passo 6
Agora vamos construir a solução transitória w(x,t)\). O enunciado já indicou que \(w\) satisfaz
\[\begin{cases} w_{t}=3\,w_{x x}, & 0<x<\pi,\\[4pt] w(0,t)=w(\pi,t)=0, & t>0,\\[4pt] w(x,0)=1-v(x), & 0\le x\le\pi. \end{cases}
Explico a estratégia didaticamente: para problemas de calor homogêneo com condições de Dirichlet zero usamos separação de variáveis e expansão em série de senos (funções próprias do operador espacial com essas BCs). As funções próprias são \sin(n x)\] com \(n\in\mathbb{N}. Vou mostrar como aparecerem e como determinar os coeficientes.]