Resolva as seguintes inequações trigonométricas, determinando todos os valores reais de x que satisfazem cada condição:
Para quais valores de x tem-se que \operatorname{sen}(x)>\frac{1}{2} ?

Passo 1

O que o exercício pede e o que foi dado:
  • Pede: todos os números reais x tais que \operatorname{sen}(x)>\dfrac{1}{2}.
  • Informação óbvia usada: a função \operatorname{sen}(x) é periódica com período 2\pi e seus valores ficam entre -1 e 1.

Passo 2

Entendendo onde \operatorname{sen}(x)=\dfrac{1}{2}: referência geométrica
  • Na circunferência trigonométrica, o valor \operatorname{sen}(x)=\dfrac{1}{2} corresponde ao ângulo de 30^\circ, isto é, \dfrac{\pi}{6} radianos, porque \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.
  • Como o seno é positivo no 1.º e no 2.º quadrantes, existe outro ângulo no intervalo [0,2\pi) que também tem seno igual a \dfrac{1}{2}; esse ângulo é 150^\circ, isto é, \dfrac{5\pi}{6}, porque \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.

Passo 3

Resolver \operatorname{sen}(x)=\dfrac{1}{2} de forma geral
  • As soluções da equação \operatorname{sen}(x)=\dfrac{1}{2} são dadas por
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,
onde k\in\mathbb{Z}. Essas são as posições, em cada período de 2\pi, onde o seno cruza o valor \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Determinar onde \operatorname{sen}(x)>\dfrac{1}{2} no intervalo principal [0,2\pi)
  • A função \operatorname{sen}(x) é contínua em [0,2\pi]. Entre as duas raízes \dfrac{\pi}{6} e \dfrac{5\pi}{6} o seno é maior que \dfrac{1}{2} porque:
    • No 1.º quadrante, imediatamente após \dfrac{\pi}{6}, \sin cresce até 1 em \dfrac{\pi}{2}.
    • No 2.º quadrante, após \dfrac{\pi}{2}, \sin diminui mas permanece acima de \dfrac{1}{2} até \dfrac{5\pi}{6}.
  • Logo, no intervalo [0,2\pi) a desigualdade \operatorname{sen}(x)>\dfrac{1}{2} é satisfeita para
x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right).

Passo 5

Generalizar para todos os x\in\mathbb{R} usando a periodicidade
  • Como \operatorname{sen}(x) tem período 2\pi, o mesmo padrão se repete em cada intervalo de comprimento 2\pi. Assim, somando 2k\pi às extremidades obtém-se todas as soluções:
x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\;\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right).

Passo 6

Verificação rápida com exemplos numéricos (checagem intuitiva)
  • Para x=\dfrac{\pi}{3} (que está em \left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right)) tem-se \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866>0,5 — OK.
  • Para x=0 (fora do intervalo) tem-se \sin(0)=0\le 0,5 — OK.

Resposta

\displaystyle x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\;\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)

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