Resolva as seguintes inequações trigonométricas, determinando todos os valores reais de
que satisfazem cada condição:
Para quais valores de
tem-se que
?
Para quais valores de
Passo 1
O que o exercício pede e o que foi dado:
- Pede: todos os números reais
tais que . - Informação óbvia usada: a função
é periódica com período e seus valores ficam entre e .
Passo 2
Entendendo onde
: referência geométrica
- Na circunferência trigonométrica, o valor
corresponde ao ângulo de , isto é, radianos, porque . - Como o seno é positivo no 1.º e no 2.º quadrantes, existe outro ângulo no intervalo
que também tem seno igual a ; esse ângulo é , isto é, , porque .
Passo 3
Resolver
de forma geral
- As soluções da equação
são dadas por
onde
. Essas são as posições, em cada período de
, onde o seno cruza o valor
.
Passo 4
Determinar onde
no intervalo principal
- A função
é contínua em . Entre as duas raízes e o seno é maior que porque: - No 1.º quadrante, imediatamente após
, cresce até em . - No 2.º quadrante, após
, diminui mas permanece acima de até .
- No 1.º quadrante, imediatamente após
- Logo, no intervalo
a desigualdade é satisfeita para
Passo 5
Generalizar para todos os
usando a periodicidade
- Como
tem período , o mesmo padrão se repete em cada intervalo de comprimento . Assim, somando às extremidades obtém-se todas as soluções:
Passo 6
Verificação rápida com exemplos numéricos (checagem intuitiva)
- Para
(que está em ) tem-se — OK. - Para
(fora do intervalo) tem-se — OK.