Resolva as seguintes inequações trigonométricas, determinando todos os valores reais de
que satisfazem cada condição:
Para quais valores de
tem-se que
?
Para quais valores de
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores reais de
que satisfazem a desigualdade
.
Informações dadas: apenas a função trigonométrica e o número
.
Pergunta clara: para quais vale
?
Informações dadas: apenas a função trigonométrica
Pergunta clara: para quais
Passo 2
Conceitos úteis (explicados de forma bem direta):
- A função
é periódica de período : isso significa que para todo . Logo basta entender a desigualdade em um intervalo de comprimento (por exemplo ) e depois somar múltiplos de . - No círculo trigonométrico,
é a abscissa (coord. ) do ponto correspondente ao ângulo . Valores negativos de correspondem a pontos à esquerda do eixo vertical, isto é, quadrantes II e III. - Para encontrar onde
usamos valores notáveis: e . Esses são os pontos onde a abscissa é exatamente .
Passo 3
Achar os pontos de igualdade (as fronteiras do conjunto):
Resolver . Os valores fundamentais no intervalo
que satisfazem isso são
Resolver
Pela periodicidade, as soluções gerais da igualdade são
Passo 4
Entender onde a desigualdade
é satisfeita num período:
No intervalo a função
desce de
em
até
em
, depois sobe até
em
. Portanto, entre as duas soluções encontradas
e
a função está abaixo ou igual a
, pois nessa região a abscissa do ponto no círculo é
. Explicitamente, para
em
No intervalo
temos
. Fora desse intervalo (no mesmo período) a cosseno é maior que
.
Passo 5
Generalizar usando periodicidade:
Como tem período
, a descrição acima se repete para todos os deslocamentos por
. Assim o conjunto completo de soluções é a união dos intervalos obtidos somados a
:
Como
Passo 6
Verificações rápidas e exemplos (para ganhar confiança):
- Para
, o intervalo é . Escolhendo (que está no intervalo), — OK. - Para
, o intervalo é . Por exemplo também satisfaz . - Nos pontos extremos
e vale igualdade , por isso os intervalos são fechados.