Resolva as seguintes inequações trigonométricas, determinando todos os valores reais de x que satisfazem cada condição:
Para quais valores de x tem-se que \cos (x) \leq-\frac{1}{2} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores reais de x que satisfazem a desigualdade \cos(x)\leq -\tfrac{1}{2}.
Informações dadas: apenas a função trigonométrica \cos(x) e o número -\tfrac{1}{2}.
Pergunta clara: para quais x\in\mathbb{R} vale \cos(x)\leq -\tfrac{1}{2} ?

Passo 2

Conceitos úteis (explicados de forma bem direta):
  • A função \cos(x) é periódica de período 2\pi: isso significa que \cos(x+2\pi)=\cos(x) para todo x. Logo basta entender a desigualdade em um intervalo de comprimento 2\pi (por exemplo [0,2\pi)) e depois somar múltiplos de 2\pi.
  • No círculo trigonométrico, \cos(x) é a abscissa (coord. x) do ponto correspondente ao ângulo x. Valores negativos de \cos correspondem a pontos à esquerda do eixo vertical, isto é, quadrantes II e III.
  • Para encontrar onde \cos(x)=-\tfrac{1}{2} usamos valores notáveis: \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2} e \cos\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}. Esses são os pontos onde a abscissa é exatamente -\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Achar os pontos de igualdade (as fronteiras do conjunto):
Resolver \cos(x)=-\tfrac{1}{2}. Os valores fundamentais no intervalo [0,2\pi) que satisfazem isso são
x=\tfrac{2\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\tfrac{4\pi}{3}.
Pela periodicidade, as soluções gerais da igualdade são
x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{e}\quad x=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Entender onde a desigualdade \cos(x)\leq -\tfrac{1}{2} é satisfeita num período:
No intervalo [0,2\pi] a função \cos(x) desce de 1 em x=0 até -1 em x=\pi, depois sobe até 1 em x=2\pi. Portanto, entre as duas soluções encontradas \tfrac{2\pi}{3} e \tfrac{4\pi}{3} a função está abaixo ou igual a -\tfrac{1}{2}, pois nessa região a abscissa do ponto no círculo é \leq -\tfrac{1}{2}. Explicitamente, para x em
\left[\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}\right]
temos \cos(x)\leq -\tfrac{1}{2}. Fora desse intervalo (no mesmo período) a cosseno é maior que -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Generalizar usando periodicidade:
Como \cos tem período 2\pi, a descrição acima se repete para todos os deslocamentos por 2k\pi. Assim o conjunto completo de soluções é a união dos intervalos obtidos somados a 2k\pi:
x\in\left[\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\\ \tfrac{4\pi}{3}+2k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificações rápidas e exemplos (para ganhar confiança):
  • Para k=0, o intervalo é \left[\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}\right]. Escolhendo x=\pi (que está no intervalo), \cos(\pi)=-1\leq -\tfrac{1}{2} — OK.
  • Para k=1, o intervalo é \left[\tfrac{2\pi}{3}+2\pi,\tfrac{4\pi}{3}+2\pi\right]. Por exemplo x=\pi+2\pi=3\pi também satisfaz \cos(3\pi)=-1\leq -\tfrac{1}{2}.
  • Nos pontos extremos \tfrac{2\pi}{3}+2k\pi e \tfrac{4\pi}{3}+2k\pi vale igualdade \cos(x)=-\tfrac{1}{2}, por isso os intervalos são fechados.

Resposta

x\in\left[\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\\ \dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}

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