9a Questão Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja \mathrm{h}=-10 \mathrm{t}^{2}+40 t+10
a) o instante que a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola;
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo;
d) o gráfico da altura em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a altura h (em metros) de uma bola em função do tempo t (em segundos) após o lançamento:
h(t) = -10t^{2} + 40t + 10.
Perguntas pedidas:
a) o instante em que a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola;
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo;
d) o gráfico da altura em função do tempo.
Informações relevantes fornecidas: a função quadrática acima, unidades (metros e segundos) e que t representa tempo após o lançamento (portanto, só faz sentido físico considerar t\ge 0).

Passo 2

Entendendo a forma da função: h(t) é um polinômio quadrático da forma padrão
h(t)=at^{2}+bt+c,
onde, neste problema, temos a=-10, b=40 e c=10.
O coeficiente a determina a concavidade da parábola:
  • Se a>0, a parábola abre para cima (mínimo).
  • Se a<0, a parábola abre para baixo (máximo).
Aqui a=-10<0, então a parábola abre para baixo e tem um ponto máximo (o vértice). O vértice fornece o instante e a altura máxima.

Passo 3

Método para encontrar o vértice (completar o quadrado) — explico passo a passo:
Queremos reescrever -10t^{2}+40t+10 como -10 vezes um quadrado perfeito mais uma constante.
Começamos isolando o fator -10 nos termos em t:
h(t) = -10\bigl(t^{2}-4t\bigr) + 10.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para t^{2}-4t, adicionamos e subtraímos (\tfrac{4}{2})^{2}=4:
t^{2}-4t = (t^{2}-4t+4)-4 = (t-2)^{2}-4.
Substituindo na expressão de h(t):
h(t) = -10\bigl((t-2)^{2}-4\bigr) + 10.
Distribuindo -10:
h(t) = -10(t-2)^{2} + 40 + 10.
Somando as constantes:
h(t) = -10(t-2)^{2} + 50.

Passo 4

Interpretação da forma completada: a expressão -10(t-2)^{2}+50 mostra que o vértice está em t=2 (quando o quadrado (t-2)^{2} é zero) e o valor de h no vértice é 50. Portanto:
  • o instante do máximo é t=2 (segundos),
  • a altura máxima é h=50 (metros).
Observação didática rápida: a fórmula geral para a abscissa do vértice de at^{2}+bt+c é \displaystyle t_{v}=-\frac{b}{2a}. Aplicando aqui com a=-10 e b=40 \displaystyle t_{v}=-\frac{40}{2\cdot(-10)}=2, mesmo resultado.

Passo 5

Cálculo explícito da altura máxima (já visto pela forma completada):
Substituindo t=2 em h(t) (ou lendo da forma completada),
h(2) = -10(2-2)^{2} + 50 = 50.
Portanto a altura máxima é \,50 metros.

Passo 6

Agora responder quando a bola toca o solo: basta resolver h(t)=0, ou seja
-10t^{2}+40t+10=0.
Usamos a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma equação at^{2}+bt+c=0, as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\quad\text{onde}\quad \Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a=-10, b=40, c=10. Calculamos o discriminante:
\Delta = 40^{2} - 4\cdot(-10)\cdot 10 = 1600 + 400 = 2000.
Fatorando 2000 = 400\cdot 5 vemos que \sqrt{2000}=20\sqrt{5}.

Passo 7

Continuando com as raízes:
t=\frac{-40\pm 20\sqrt{5}}{2\cdot(-10)} = \frac{-40\pm 20\sqrt{5}}{-20}.
Dividindo numerador e denominador por -20 (ou reorganizando o sinal) obtemos as duas soluções
t = 2 \pm \sqrt{5}.
Numericamente, \sqrt{5}\approx 2,236, então as raízes são aproximadamente 2-\sqrt{5}\approx -0,236 e 2+\sqrt{5}\approx 4,236.
Fisicamente só aceitamos t\ge 0. A raiz negativa corresponde a um tempo antes do lançamento (não física aqui), então o instante positivo em que a bola toca o solo é
t = 2+\sqrt{5}\\ \text{segundos} \quad(\text{aprox. }4{,}236\\ \text{s}).

Passo 8

Construção do gráfico (descrição passo a passo para você desenhar na prova):
  • Sabemos que a curva é uma parábola que abre para baixo (porque a=-10<0).
  • Vértice: (t,h)=(2,50).
  • Intercepto com o eixo t (raízes): (2-\sqrt{5},0) e (2+\sqrt{5},0). Para o gráfico físico use só a porção t\ge 0; a interseção relevante com o solo é (2+\sqrt{5},0).
  • Intercepto com o eixo h (quando t=0): h(0)=10,
logo o ponto (0,10).
  • Pontos simétricos em torno do eixo de simetria t=2: por exemplo h(1) = -10(1)^{2}+40(1)+10 = 40,
h(3) = -10(3)^{2}+40(3)+10 = 40,
e
h(4) = -10(4)^{2}+40(4)+10 = 10,
mostrando a simetria e que em t=4 a altura volta a 10 m (mesmo que o solo esteja em h=0; o zero ocorre em t\approx 4{,}236).
Como desenhar: trace os eixos t (horizontal, em segundos) e h (vertical, em metros); marque e ligue suavemente os pontos (0,10), (1,40), (2,50), (3,40), (4,10) e faça a curva passar por (2+\sqrt{5},0). Desenhe a linha vertical t=2 como eixo de simetria. A parábola deve estar acima do eixo h entre t=0 e t\approx 4{,}236 e ficar abaixo (negativa) para t>2+\sqrt{5}, mas só a parte t\ge 0 interessa fisicamente.

Resposta

a) t=2\\ \text{s}
b) h_{\max}=50\\ \text{m}
c) t=2+\sqrt{5}\\ \text{s}\approx 4{,}236\\ \text{s}
d) Parabola que abre para baixo com vértice em (2,50), intercepto em h(0)=10, raízes t=2\pm\sqrt{5} (a física relevante é t=2+\sqrt{5}); pontos úteis para desenho: (0,10),(1,40),(2,50),(3,40),(4,10).

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