9a Questão Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja
a) o instante que a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola;
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo;
d) o gráfico da altura em função do tempo.
a) o instante que a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola;
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo;
d) o gráfico da altura em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a altura
(em metros) de uma bola em função do tempo
(em segundos) após o lançamento:
Perguntas pedidas:
a) o instante em que a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola;
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo;
d) o gráfico da altura em função do tempo.
a) o instante em que a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola;
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo;
d) o gráfico da altura em função do tempo.
Informações relevantes fornecidas: a função quadrática acima, unidades (metros e segundos) e que
representa tempo após o lançamento (portanto, só faz sentido físico considerar
).
Passo 2
Entendendo a forma da função:
é um polinômio quadrático da forma padrão
onde, neste problema, temos
,
e
.
O coeficiente
determina a concavidade da parábola:
- Se
, a parábola abre para cima (mínimo). - Se
, a parábola abre para baixo (máximo).
Aqui
, então a parábola abre para baixo e tem um ponto máximo (o vértice). O vértice fornece o instante e a altura máxima.
Passo 3
Método para encontrar o vértice (completar o quadrado) — explico passo a passo:
Queremos reescrever como
vezes um quadrado perfeito mais uma constante.
Queremos reescrever
Começamos isolando o fator
nos termos em
:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para
, adicionamos e subtraímos
:
Substituindo na expressão de
:
Distribuindo
:
Somando as constantes:
Passo 4
Interpretação da forma completada: a expressão
mostra que o vértice está em
(quando o quadrado
é zero) e o valor de
no vértice é
. Portanto:
- o instante do máximo é
(segundos), - a altura máxima é
(metros).
Observação didática rápida: a fórmula geral para a abscissa do vértice de
é
. Aplicando aqui com
e
dá
, mesmo resultado.
Passo 5
Cálculo explícito da altura máxima (já visto pela forma completada):
Substituindo em
(ou lendo da forma completada),
Substituindo
Portanto a altura máxima é
metros.
Passo 6
Agora responder quando a bola toca o solo: basta resolver
, ou seja
Usamos a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Fatorando
vemos que
.
Passo 7
Continuando com as raízes:
Dividindo numerador e denominador por
(ou reorganizando o sinal) obtemos as duas soluções
Numericamente,
, então as raízes são aproximadamente
e
.
Fisicamente só aceitamos
. A raiz negativa corresponde a um tempo antes do lançamento (não física aqui), então o instante positivo em que a bola toca o solo é
Passo 8
Construção do gráfico (descrição passo a passo para você desenhar na prova):
- Sabemos que a curva é uma parábola que abre para baixo (porque
). - Vértice:
. - Intercepto com o eixo
(raízes): e . Para o gráfico físico use só a porção ; a interseção relevante com o solo é . - Intercepto com o eixo
(quando ):
logo o ponto
.
- Pontos simétricos em torno do eixo de simetria
: por exemplo
e
mostrando a simetria e que em
a altura volta a
m (mesmo que o solo esteja em
; o zero ocorre em
).
Como desenhar: trace os eixos
(horizontal, em segundos) e
(vertical, em metros); marque e ligue suavemente os pontos
,
,
,
,
e faça a curva passar por
. Desenhe a linha vertical
como eixo de simetria. A parábola deve estar acima do eixo
entre
e
e ficar abaixo (negativa) para
, mas só a parte
interessa fisicamente.
Resposta
a)
b)
c)
d) Parabola que abre para baixo com vértice em , intercepto em
, raízes
(a física relevante é
); pontos úteis para desenho:
.
b)
c)
d) Parabola que abre para baixo com vértice em