Questão - Um gás ocupa um volume de 6,0 I a uma pressão de 2,0 atm e uma temperatura de 350 K . O gás é comprimido adiabaticamente para um volume de
. Determine: (i) a pressão final; e (ii) a temperatura final. Suponha que o gás é ideal e que
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
- Volume inicial:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Volume final:
. - Constante adiabática:
.
- Volume inicial:
-
O enunciado pede:
- (i) a pressão final
; - (ii) a temperatura final
.
- (i) a pressão final
Passo 2
Entender a lei que podemos usar (explicação didática e sem pular passos).
Para um gás ideal submetido a uma compressão adiabática reversível vale a relação
Aqui:
-
é a pressão do gás; -
é o volume do gás; -
é a razão dos calores específicos (fornecida).
Isso significa que, entre o estado inicial e o final,
Isolando
obtemos a fórmula prática para a pressão final:
Vou usar essa fórmula no cálculo do item (i).
Passo 3
Calcular a pressão final passo a passo.
Primeiro a razão de volumes:
Aplicando a fórmula
Agora avaliar
. Uma forma controlada é usar logaritmo natural:
Sabendo que
, temos
portanto
Logo
Arredondando com consistência dos dados originais, fica razoável usar
.
Passo 4
Agora a temperatura final — explicação da relação utilizada.
A partir da lei dos gases ideais
e da lei adiabática
segue que
Isso dá a relação entre temperaturas e volumes:
Aqui
é o expoente positivo (pois
); ao comprimir (
) a temperatura aumenta, como vamos ver.
Passo 5
Calcular a temperatura final passo a passo.
O expoente é
Usando a razão de volumes já calculada
,
Calcular
via log:
Então
Arredondando consistentemente, tomo
.
Passo 6
Verificação rápida de consistência (chequinho que ajuda na prova).
Pela lei dos gases,
. Então deveríamos ter
Calculando a direita:
, que é exatamente o fator que obtivemos para
. Isso confirma que os resultados são auto-consistentes.