8^{\text {a }} Questão - Um gás ocupa um volume de 6,0 I a uma pressão de 2,0 atm e uma temperatura de 350 K . O gás é comprimido adiabaticamente para um volume de 1,5 \mathrm{I}. Determine: (i) a pressão final; e (ii) a temperatura final. Suponha que o gás é ideal e que \gamma=1,40.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • Volume inicial: V_i=6,0\\ \text{L}.
    • Pressão inicial: P_i=2,0\\ \text{atm}.
    • Temperatura inicial: T_i=350\\ \text{K}.
    • Volume final: V_f=1,5\\ \text{L}.
    • Constante adiabática: \gamma=1,40.
  • O enunciado pede:
    • (i) a pressão final P_f;
    • (ii) a temperatura final T_f.

Passo 2

Entender a lei que podemos usar (explicação didática e sem pular passos).
Para um gás ideal submetido a uma compressão adiabática reversível vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Aqui:
  • P é a pressão do gás;
  • V é o volume do gás;
  • \gamma é a razão dos calores específicos (fornecida).
Isso significa que, entre o estado inicial e o final,
P_i V_i^{\gamma}=P_f V_f^{\gamma}.
Isolando P_f obtemos a fórmula prática para a pressão final:
P_f = P_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma}.
Vou usar essa fórmula no cálculo do item (i).

Passo 3

Calcular a pressão final passo a passo.
Primeiro a razão de volumes:
\frac{V_i}{V_f}=\frac{6,0}{1,5}=4.
Aplicando a fórmula
P_f = P_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma}=2,0\cdot 4^{1,40}.
Agora avaliar 4^{1,40}. Uma forma controlada é usar logaritmo natural:
4^{1,40}=e^{1,40\ln 4}.
Sabendo que \ln 4\approx 1,386294, temos
1,40\ln 4 \approx 1,40\cdot 1,386294 \approx 1,940812,
portanto
4^{1,40}\approx e^{1,940812}\approx 6,964.
Logo
P_f \approx 2,0\cdot 6,964 \approx 13,93\\ \text{atm}.
Arredondando com consistência dos dados originais, fica razoável usar P_f\approx 13,9\\ \text{atm}.

Passo 4

Agora a temperatura final — explicação da relação utilizada.
A partir da lei dos gases ideais \,P V=n R T\, e da lei adiabática \,P V^{\gamma}=\text{const}\, segue que
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Isso dá a relação entre temperaturas e volumes:
\frac{T_f}{T_i}=\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
Aqui \gamma-1 é o expoente positivo (pois \gamma>1); ao comprimir ( V_f<V_i) a temperatura aumenta, como vamos ver.

Passo 5

Calcular a temperatura final passo a passo.
O expoente é
\gamma-1=1,40-1=0,40.
Usando a razão de volumes já calculada \dfrac{V_i}{V_f}=4,
\frac{T_f}{T_i}=4^{0,40}.
Calcular 4^{0,40} via log:
4^{0,40}=e^{0,40\ln 4}\approx e^{0,40\cdot 1,386294}\approx e^{0,554518}\approx 1,741.
Então
T_f = T_i\cdot 1,741 \approx 350\cdot 1,741 \approx 609,35\\ \text{K}.
Arredondando consistentemente, tomo T_f\approx 609\\ \text{K}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (chequinho que ajuda na prova).
Pela lei dos gases, P\propto T/V. Então deveríamos ter
\frac{P_f}{P_i}=\frac{T_f}{T_i}\cdot\frac{V_i}{V_f}.
Calculando a direita: 1,741\cdot 4\approx 6,964, que é exatamente o fator que obtivemos para P_f/P_i. Isso confirma que os resultados são auto-consistentes.

Resposta

P_f\approx 13,9\\ \text{atm}
T_f\approx 609\\ \text{K}

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