Um feixe de luz não polarizada com intensidade I_{0} incide sobre um polarizador (polaróide). Após passar por este primeiro polarizador, a luz polarizada resultante incide sobre um segundo polarizador (analisador) cujo eixo de polarização faz um ângulo \theta=60^{\circ} com o eixo de polarização do primeiro. Qual é a intensidade final da luz emergente, I, em função de I_{0} ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Um feixe de luz não polarizada com intensidade I_{0} incide sobre um primeiro polarizador (polaróide).
  • A luz emergente desse primeiro polarizador (agora polarizada) incide num segundo polarizador (analisador) cujo eixo de polarização forma um ângulo \theta=60^\circ com o eixo do primeiro.
  • Pergunta: qual é a intensidade final I da luz que sai do segundo polarizador, expressa em função de I_{0}?

Passo 2

O que acontece no primeiro polarizador (efeito sobre luz não polarizada).
  • Luz não polarizada tem, em média, as componentes de campo elétrico igualmente distribuídas em todas as direções perpendiculares à propagação. Um polarizador deixa passar apenas a componente do campo na direção do seu eixo.
  • Em média, isso reduz a intensidade à metade. Posso mostrar isso formalmente tomando a média da lei de Malus sobre todas as direções de polarização iniciais:
I_{1}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} I_{0}\cos^{2}\varphi\,d\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre a direção de polarização original da componente considerada e o eixo do polarizador. Usando a identidade \cos^{2}\varphi=\dfrac{1+\cos 2\varphi}{2} e integrando,
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{1+\cos2\varphi}{2}\,d\varphi=\frac{1}{2}.
Portanto
I_{1}=\frac{I_{0}}{2}.
Aqui I_{1} é a intensidade da luz já polarizada que sai do primeiro polarizador.

Passo 3

Lei de Malus (o que vale ao passar luz polarizada por um analisador).
  • Para luz já polarizada, quando ela passa por um polarizador cujo eixo forma ângulo \theta com a direção de polarização da luz incidente, a intensidade transmitida é dada pela lei de Malus:
I=I_{\text{in}}\cos^{2}\theta,
onde I_{\text{in}} é a intensidade da luz polarizada incidente e \theta é o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente e o eixo do polarizador. A razão é física: a componente do campo elétrico transmitida é E\cos\theta e a intensidade é proporcional a E^{2}, gerando o fator \cos^{2}\theta.

Passo 4

Aplicando Malus ao segundo polarizador usando I_{\text{in}}=I_{1}.
  • Substituindo I_{1}=\dfrac{I_{0}}{2} na lei de Malus:
I=\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}\theta.
Esta é a expressão geral da intensidade final em função de I_{0} e do ângulo \theta.

Passo 5

Calcular para \theta=60^\circ.
  • Temos \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, então \cos^{2}60^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
  • Substituindo em I=\dfrac{I_{0}}{2}\cos^{2}\theta,
I=\frac{I_{0}}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{I_{0}}{8}.

Resposta

\displaystyle I=\frac{I_{0}}{8}

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