\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão ( \mathbf{1 , 5} pts): Dois resistores, um de cobre (C u) e um de tungstênio (W) possuem, na temperatura de 20\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right], suas resistências de R_{C u}=4[\Omega] e R_{W}=12[\Omega]. Considere agora que o resistor de cobre tem sua temperatura elevada para 40\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] e o de tungstênio é resfriado para 15\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]. Dados: Para o cobre, T_{0}=-234,5\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] e para o tungstênio, T_{0}=-202\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]
E qual será a variação percentual da resistência equivalente quando os resistores forem ligados em série?

Passo 1

O enunciado pede: calcular a variação percentual da resistência equivalente quando os dois resistores (Cobre e Tungstênio) forem ligados em série após mudarem de temperatura.
Dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
  • Resistência do cobre à 20\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]: R_{Cu}(20)=4\\ [\Omega].
  • Resistência do tungstênio à 20\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]: R_{W}(20)=12\\ [\Omega].
  • Nova temperatura do cobre: T_{Cu,\text{novo}}=40\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right].
  • Nova temperatura do tungstênio: T_{W,\text{novo}}=15\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right].
  • Temperatura de referência (onde a resistência extrapolada seria zero) do cobre: T_{0,Cu}=-234{,}5\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right].
  • Temperatura de referência do tungstênio: T_{0,W}=-202\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right].
Informação útil imediata: resistência equivalente em série inicialmente (às 20\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]) é
R_{\text{eq, inicial}}=R_{Cu}(20)+R_{W}(20)=4+12=16\\ [\Omega].

Passo 2

Modelo físico e fórmula a usar (explicação didática): para muitos metais a resistência varia, de modo aproximado e linear, com a temperatura e a extrapolação dessa reta intercepta o eixo das temperaturas em um valor negativo T_0 (isto é um ajuste linear experimental). Nesse modelo linear a resistência é proporcional à diferença entre a temperatura e T_0. Escreve-se
R(T)=k\,(T-T_0),
onde:
  • R(T) é a resistência à temperatura T;
  • k é uma constante proporcional ao material (mesma unidade que \Omega/^\circ\mathrm{C});
  • T_0 é a temperatura na qual a extrapolação linear dá R=0.
Como conhecemos R em T=20^\circ\mathrm{C}, podemos eliminar k e obter uma fórmula prática para usar em prova:
k=\frac{R(20)}{20-T_0}\quad\Rightarrow\quad R(T)=R(20)\,\frac{T-T_0}{20-T_0}.
Explicando: essa expressão diz que a resistência em uma temperatura qualquer T é a resistência conhecida em 20^\circ\mathrm{C} multiplicada pela razão das distâncias (na escala Celsius) entre as temperaturas consideradas e o ponto T_0. Na prática isso evita precisar conhecer o coeficiente de temperatura diretamente.

Passo 3

Aplicar a fórmula para o resistor de cobre (passo a passo de contas, sem pular etapas):
Usamos
R_{Cu}(T)=R_{Cu}(20)\,\frac{T-T_{0,Cu}}{20-T_{0,Cu}}.
Substituindo R_{Cu}(20)=4\\ [\Omega], T=40\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right] e T_{0,Cu}=-234{,}5\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]:
R_{Cu}(40)=4\cdot\frac{40-(-234{,}5)}{20-(-234{,}5)}=4\cdot\frac{274{,}5}{254{,}5}.
Agora calcule a fração:
\frac{274{,}5}{254{,}5}=1{,}078596\\ \text{(aprox.)}
Multiplicando:
R_{Cu}(40)\approx 4\times1{,}078596=4{,}314384\\ [\Omega].
Arredondando razoavelmente para uso prático: R_{Cu}(40)\approx 4{,}3144\\ [\Omega].

Passo 4

Aplicar a fórmula para o resistor de tungstênio:
R_{W}(T)=R_{W}(20)\,\frac{T-T_{0,W}}{20-T_{0,W}}.
Substituindo R_{W}(20)=12\\ [\Omega], T=15\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right] e T_{0,W}=-202\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]:
R_{W}(15)=12\cdot\frac{15-(-202)}{20-(-202)}=12\cdot\frac{217}{222}.
Calcule a fração:
\frac{217}{222}=0{,}977477\\ \text{(aprox.)}
Multiplicando:
R_{W}(15)\approx 12\times0{,}977477=11{,}72973\\ [\Omega].
Arredondando: R_{W}(15)\approx 11{,}7297\\ [\Omega].

Passo 5

Calcular a nova resistência equivalente em série e a variação percentual:
Nova resistência equivalente (soma, pois estão em série):
R_{\text{eq, final}}=R_{Cu}(40)+R_{W}(15)\approx 4{,}314384+11{,}729730=16{,}044114\\ [\Omega].
Variação absoluta:
\Delta R=R_{\text{eq, final}}-R_{\text{eq, inicial}}=16{,}044114-16=0{,}044114\\ [\Omega].
Variação percentual (fórmula e substituição):
\Delta\%=\frac{\Delta R}{R_{\text{eq, inicial}}}\times100\% =\frac{0{,}044114}{16}\times100\%\approx0{,}27571\%.
Arredondando a um dígito significativo apropriado para percentuais pequenos, fica aproximadamente 0{,}276\%.

Passo 6

Interpretação curta (como anotar na prova): a resistência equivalente aumentou muito pouco (cerca de um quarto de porcento) porque o aumento do cobre foi quase compensado pela pequena queda do tungstênio. Para provas, siga sempre o mesmo procedimento: obter R(T) por \;R(20)\,(T-T_0)/(20-T_0), somar (ou combinar conforme o circuito) e calcular a diferença percentual com (R_f-R_i)/R_i.

Resposta

0,276\%

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