Seja um paralelepípedo retângulo onde os vetores \vec{a} e \vec{b} formam as aresta da base e o vetor \vec{c} representa uma aresta perpendicular a base. Mostre que o volume deste paralelepípedo retângulo pode ser representado por: \vec{c} .(\vec{a} \times \vec{b})
Passo 1
O enunciado dá um paralelepípedo retângulo cujas arestas da base são os vetores \vec{a} e \vec{b} e a aresta perpendicular à base é o vetor \vec{c}. A tarefa é mostrar que o volume desse paralelepípedo pode ser representado por
\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}).
Informações relevantes dadas:
A base é um paralelogramo com lados \vec{a} e \vec{b}.
A aresta \vec{c} é perpendicular à base (ou seja, perpendicular ao plano gerado por \vec{a} e \vec{b}).
Pede-se relacionar volume com produtos vetoriais e escalares.
Passo 2
Lembrete geométrico importante (aqui explico bem devagarinho): o volume V de um paralelepípedo retângulo é igual à área da base multiplicada pela altura. A base é o paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}, então
V = (\text{área da base})\times(\text{altura}).
Agora preciso saber como calcular a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}. Para isso usamos o produto vetorial.
Passo 3
O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} tem duas propriedades geométricas essenciais:
A direção de \vec{a}\times\vec{b} é perpendicular ao plano gerado por \vec{a} e \vec{b}.
O módulo é a área do paralelogramo com lados \vec{a} e \vec{b}:
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Portanto a área da base é
\text{área da base} = \|\vec{a}\times\vec{b}\|.
(Isto vem da fórmula área = base \times altura = \|\vec{a}\|(\|\vec{b}\|\sin\theta).)
Passo 4
Agora falta a altura. A altura do paralelepípedo é a distância entre os planos da base, que, no caso dado, é exatamente o comprimento da aresta \vec{c} na direção normal à base. Como \vec{c} é perpendicular à base, a direção de \vec{c} coincide (até sinal) com a direção de \vec{a}\times\vec{b}. Portanto a altura é
\text{altura} = \|\vec{c}\|.
Juntando área da base e altura:
V = \|\vec{a}\times\vec{b}\| \,\|\vec{c}\|.
Passo 5
Agora mostro a relação com o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores satisfaz
onde \varphi é o ângulo entre \vec{c} e \vec{a}\times\vec{b}. Como \vec{c} é perpendicular à base e \vec{a}\times\vec{b} é um vetor normal à base, \vec{c} e \vec{a}\times\vec{b} são paralelos (ângulo \varphi=0^\circ ou \varphi=180^\circ), logo \cos\varphi=\pm 1. Assim