Seja um paralelepípedo retângulo onde os vetores \vec{a} e \vec{b} formam as aresta da base e o vetor \vec{c} representa uma aresta perpendicular a base. Mostre que o volume deste paralelepípedo retângulo pode ser representado por:
\vec{c} .(\vec{a} \times \vec{b})

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo retângulo cujas arestas da base são os vetores \vec{a} e \vec{b} e a aresta perpendicular à base é o vetor \vec{c}. A tarefa é mostrar que o volume desse paralelepípedo pode ser representado por
\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}).
Informações relevantes dadas:
  • A base é um paralelogramo com lados \vec{a} e \vec{b}.
  • A aresta \vec{c} é perpendicular à base (ou seja, perpendicular ao plano gerado por \vec{a} e \vec{b}).
  • Pede-se relacionar volume com produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Lembrete geométrico importante (aqui explico bem devagarinho): o volume V de um paralelepípedo retângulo é igual à área da base multiplicada pela altura. A base é o paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}, então
V = (\text{área da base})\times(\text{altura}).á
Agora preciso saber como calcular a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}. Para isso usamos o produto vetorial.

Passo 3

O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} tem duas propriedades geométricas essenciais:
  • A direção de \vec{a}\times\vec{b} é perpendicular ao plano gerado por \vec{a} e \vec{b}.
  • O módulo é a área do paralelogramo com lados \vec{a} e \vec{b}:
\|\vec{a}\times\vec{b}\| = \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Portanto a área da base é
\text{área da base} = \|\vec{a}\times\vec{b}\|.á
(Isto vem da fórmula área = base \times altura = \|\vec{a}\|(\|\vec{b}\|\sin\theta).)

Passo 4

Agora falta a altura. A altura do paralelepípedo é a distância entre os planos da base, que, no caso dado, é exatamente o comprimento da aresta \vec{c} na direção normal à base. Como \vec{c} é perpendicular à base, a direção de \vec{c} coincide (até sinal) com a direção de \vec{a}\times\vec{b}. Portanto a altura é
\text{altura} = \|\vec{c}\|.
Juntando área da base e altura:
V = \|\vec{a}\times\vec{b}\| \,\|\vec{c}\|.

Passo 5

Agora mostro a relação com o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores satisfaz
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre eles. Aplique isto a \vec{c} e \vec{a}\times\vec{b}:
\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\|\vec{c}\|\,\|\vec{a}\times\vec{b}\|\,\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \vec{c} e \vec{a}\times\vec{b}. Como \vec{c} é perpendicular à base e \vec{a}\times\vec{b} é um vetor normal à base, \vec{c} e \vec{a}\times\vec{b} são paralelos (ângulo \varphi=0^\circ ou \varphi=180^\circ), logo \cos\varphi=\pm 1. Assim
\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\pm\|\vec{c}\|\,\|\vec{a}\times\vec{b}\|.
O sinal depende da orientação, mas em módulo temos
\bigl|\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})\bigr|=\|\vec{c}\|\,\|\vec{a}\times\vec{b}\| = V.
Se adotarmos a orientação consistente (por exemplo, \vec{c} apontando no sentido do produto \vec{a}\times\vec{b}), o sinal é positivo e então
V=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}).

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar (só pra gente ver que bate): tome \vec{a}=(2,0,0), \vec{b}=(0,3,0), \vec{c}=(0,0,4). Então
\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,6), \qquad \vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=(0,0,4)\cdot(0,0,6)=24.
O volume calculado como produto das arestas é 2\cdot 3\cdot 4=24. Tudo coincide, beleza!

Resposta

\displaystyle V=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})

Exercícios relacionados