(Vale 2,0
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para
Passo 1
O enunciado pede: usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular da equação diferencial
Informações dadas:
Pergunta: encontrar uma solução particular
(não é necessário achar a solução geral, apenas a particular).
Passo 2
Ideia do método dos coeficientes indeterminados (explicação didática):
Quando o termo do lado direito é uma função simples como seno ou cosseno de frequência , assumimos uma solução particular da mesma forma linear combinando seno e cosseno com coeficientes constantes. Ou seja, tentamos
Quando o termo do lado direito é uma função simples como seno ou cosseno de frequência
onde
e
são constantes a determinar. Antes de usar esse palpite precisamos checar se ele é “resonante” com a solução da homogênea — se for, multiplicaríamos por
. Vamos verificar isso resolvendo a equação homogênea associada.
Passo 3
Resolver a homogênea e checar ressonância:
A equação homogênea é
A equação homogênea é
A equação característica é
Resolver:
As raízes são complexas com parte imaginária
, ou seja a solução homogênea envolve termos
e
. A frequência presente na homogênea é
, que é diferente de
. Portanto não há ressonância com
e nosso palpite simples
é apropriado.
Passo 4
Escrever o palpite e calcular derivadas (explicando o que cada termo significa):
Palpite:
Palpite:
onde
são constantes desconhecidas.
Derivadas: a derivada de
é
e a derivada de
é
, aplicando regra da cadeia (derivada de
é
). Logo
Passo 5
Substituir
na equação e agrupar termos em
e
:
Substituindo,
Substituindo,
Agora somamos coeficientes de
e
separadamente. Para
:
Para
:
Portanto
Passo 6
Impor que a expressão obtida seja igual ao lado direito
, ou seja igual a
. Isso dá o sistema para
:
Passo 7
Resolver o sistema (passo a passo):
Da primeira equação,
Da primeira equação,
Substituir na segunda:
Calcular:
Logo
E então
Passo 8
Escrever a solução particular encontrada e comentário final:
Substituindo e
no palpite,
Substituindo
Observação amigável: essa é a solução particular pedida; a solução geral seria
com
da homogênea, mas o enunciado pediu apenas a particular. Força aí — essa técnica de bater coeficientes dá resultado direto quando não há ressonância!