(Vale 2,0 ) Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede: usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular da equação diferencial
y''-y'+y=\operatorname{sen}(2x).
Informações dadas:
\text{Equação: }y''-y'+y=\operatorname{sen}(2x).çã
Pergunta: encontrar uma solução particular y_p(x) (não é necessário achar a solução geral, apenas a particular).

Passo 2

Ideia do método dos coeficientes indeterminados (explicação didática):
Quando o termo do lado direito é uma função simples como seno ou cosseno de frequência 2, assumimos uma solução particular da mesma forma linear combinando seno e cosseno com coeficientes constantes. Ou seja, tentamos
y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x),
onde A e B são constantes a determinar. Antes de usar esse palpite precisamos checar se ele é “resonante” com a solução da homogênea — se for, multiplicaríamos por x. Vamos verificar isso resolvendo a equação homogênea associada.

Passo 3

Resolver a homogênea e checar ressonância:
A equação homogênea é
y''-y'+y=0.
A equação característica é
r^{2}-r+1=0.
Resolver:
r=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.
As raízes são complexas com parte imaginária \dfrac{\sqrt{3}}{2}, ou seja a solução homogênea envolve termos e^{x/2}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big) e e^{x/2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big). A frequência presente na homogênea é \dfrac{\sqrt{3}}{2}, que é diferente de 2. Portanto não há ressonância com \sin(2x) e nosso palpite simples A\cos(2x)+B\sin(2x) é apropriado.

Passo 4

Escrever o palpite e calcular derivadas (explicando o que cada termo significa):
Palpite:
y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x),
onde A,B são constantes desconhecidas.
Derivadas: a derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x) e a derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x), aplicando regra da cadeia (derivada de 2x é 2). Logo
y_p'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x),
y_p''(x)=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x).

Passo 5

Substituir y_p,y_p',y_p'' na equação e agrupar termos em \cos(2x) e \sin(2x):
Substituindo,
y_p''-y_p'+y_p = \big(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\big) -\big(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\big) + \big(A\cos(2x)+B\sin(2x)\big).
Agora somamos coeficientes de \cos(2x) e \sin(2x) separadamente. Para \cos(2x):
-4A \;+\; (-2B) \;+\; A = -3A-2B.
Para \sin(2x):
-4B \;+\; 2A \;+\; B = 2A-3B.
Portanto
y_p''-y_p'+y_p = \big(-3A-2B\big)\cos(2x) + \big(2A-3B\big)\sin(2x).

Passo 6

Impor que a expressão obtida seja igual ao lado direito \sin(2x), ou seja igual a 0\cdot\cos(2x)+1\cdot\sin(2x). Isso dá o sistema para A,B:
\begin{cases} -3A-2B=0,\\[4pt] 2A-3B=1. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema (passo a passo):
Da primeira equação,
-3A-2B=0\implies 3A+2B=0\implies A=-\dfrac{2}{3}B.
Substituir na segunda:
2\!\left(-\dfrac{2}{3}B\right)-3B=1.
Calcular:
-\dfrac{4}{3}B-3B=1\implies -\dfrac{4}{3}B-\dfrac{9}{3}B=1\implies -\dfrac{13}{3}B=1.
Logo
B=-\dfrac{3}{13}.
E então
A=-\dfrac{2}{3}B=-\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{3}{13}\right)=\dfrac{2}{13}.

Passo 8

Escrever a solução particular encontrada e comentário final:
Substituindo A e B no palpite,
y_p(x)=\dfrac{2}{13}\cos(2x)-\dfrac{3}{13}\sin(2x).
Observação amigável: essa é a solução particular pedida; a solução geral seria y=y_h+y_p com y_h da homogênea, mas o enunciado pediu apenas a particular. Força aí — essa técnica de bater coeficientes dá resultado direto quando não há ressonância!

Resposta

y_p(x)=\dfrac{2}{13}\cos(2x)-\dfrac{3}{13}\sin(2x)

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