4{ }^{\text {a }} Questão (2,5 pontos) - Um forno de micro ondas comercial comum tem um volume cúbico de lado 30,6 cm podendo desenvolver uma potência de 1400 W durante 1 minuto. Para aquecer uma refeição, o forno produz uma onda estacionária que apresenta 5 máximos no interior do forno.
(a) [1,0 pt] Qual é o valor do comprimento de onda desta onda estacionária?
(b) [0,5 \mathrm{pt}] Determine sua frequência de funcionamento.
(c) [1,0 pt] Calcule a densidade média de energia consumida no volume do forno.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as três coisas abaixo. Informações fornecidas:
L=30,6\\ \mathrm{cm},\quad P=1400\\ \mathrm{W},\quad t=1\\ \text{min}=60\\ \mathrm{s},\quad \text{número de máximos (antinodos)}=5.úá
Perguntas do enunciado:
  1. Qual é o comprimento de onda da onda estacionária dentro do forno?
  2. Qual é a frequência de funcionamento dessa onda?
  3. Qual é a densidade média de energia consumida no volume do forno?

Passo 2

Primeiro passo prático: passar tudo para unidades do SI. Converter o lado do cubo para metros:
L=30,6\\ \mathrm{cm}=0,306\\ \mathrm{m}.
Agora interpretar o que significa “5 máximos” para uma onda estacionária entre as paredes do forno. Para uma onda estacionária numa cavidade com paredes paralelas, o comprimento da cavidade L comporta um número inteiro n de meias-ondas. A relação é:
L = n\frac{\lambda}{2},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • n é o número de meias-ondas que cabem em L.
    O número de máximos (antinodos) em L é exatamente n. Aqui n=5.

Passo 3

Isolar \lambda da relação L = n\frac{\lambda}{2}. Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por n:
\lambda = \frac{2L}{n}.
Substituindo L=0,306\\ \mathrm{m} e n=5:
\lambda = \frac{2\cdot 0,306}{5}=\frac{0,612}{5}=0,1224\\ \mathrm{m}.
Converter para centímetros (opcional): 0,1224\\ \mathrm{m}=12,24\\ \mathrm{cm}. Então o comprimento de onda é \lambda=0,1224\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora determinar a frequência. Para ondas eletromagnéticas (micro-ondas) no forno, a velocidade aproximada é a velocidade da luz no ar, que tomamos como
c=3,0\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
c=\lambda f,
onde f é a frequência. Isolando f:
f=\frac{c}{\lambda}.
Substituindo c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \lambda=0,1224\\ \mathrm{m}:
f=\frac{3,0\times10^{8}}{0,1224}\\ \mathrm{Hz}\approx 2,45098\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando com três algarismos significativos:
f\approx 2,45\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}\quad(\text{ou }2,45\\ \mathrm{GHz}).

Passo 5

Calcular a energia total entregue pelo forno no tempo dado. Energia é potência vezes tempo:
E=P\cdot t.
Substituindo P=1400\\ \mathrm{W} e t=60\\ \mathrm{s}:
E=1400\cdot 60=84\,000\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular o volume do forno (é um cubo):
V=L^{3}=(0,306)^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Fazendo a conta com detalhes:
0,306^{2}=0,093636,
0,093636\times 0,306=0,028652616\\ \mathrm{m^{3}}.
Assim V\approx 0,028652616\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 7

A densidade média de energia \bar{u} no volume é a energia total dividida pelo volume:
\bar{u}=\frac{E}{V}.
Substituindo E=84\,000\\ \mathrm{J} e V=0,028652616\\ \mathrm{m^{3}}:
\bar{u}=\frac{84\,000}{0,028652616}\\ \mathrm{J/m^{3}}\approx 2,9329\times10^{6}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\bar{u}\approx 2,93\times10^{6}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Interpretação rápida: isso é a energia média entregue por metro cúbico do interior do forno durante o minuto considerado.

Passo 8

Checagem final rápida: a frequência obtida 2,45\\ \mathrm{GHz} é compatível com os valores comerciais típicos de micro-ondas (cerca de 2,45\\ \mathrm{GHz}), o que reforça que os cálculos estão consistentes. Força aí nos estudos — você conseguiu chegar no resultado passo a passo!

Resposta

(a)\\ \lambda = 0,1224\\ \mathrm{m}.
(b)\\ f = 2,45\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
\text{(c)}\\ \bar{u} = 2,93\times10^{6}\\ \mathrm{J/m^{3}}.

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