Uma espira condutora plana de área interna A e resistencia elétrica R é posicionada sobre o plano \mathcal{X} \mathcal{Y} de um sistema de coordenadas eartesianas. Ela está imersa em uma regiáo de campo magnético uniforme. mas nāo-estacionário, dado por \overrightarrow{\boldsymbol{B}}(t)=B_{0} \cos ^{2}(\omega t) \bar{z}, onde B_{0} e \omega sāo constantes positivas. Nessa situação, qual é a intensidade máxima da corrente induzida na espira?
(a) \frac{w B_{0} A}{4 R}
(b) \frac{\omega B_{0} A}{\sqrt{2} R}
(c) \frac{\omega B_{0} A}{2 R}
(d) \frac{\omega B_{0} A}{R}
(e) \frac{2 \omega B_{0} A}{R}
(f) \frac{\sqrt{2} \omega B_{0} A}{R}
(g) \frac{4 \omega B_{0} A}{R}

Passo 1

O enunciado pede a intensidade máxima da corrente induzida numa espira plana de área interna A e resistência elétrica R, colocada no plano \mathcal{X}\mathcal{Y} e sujeita a um campo magnético uniforme não-estacionário \overrightarrow{\boldsymbol{B}}(t)=B_{0}\cos^{2}(\omega t)\,\hat{z}. Informações relevantes dadas:
  • A espira tem área interna A e resistência R.
  • O campo magnético é uniforme, perpendicular à espira (direção \hat{z}), com módulo B(t)=B_{0}\cos^{2}(\omega t).
  • B_{0}>0 e \omega>0 são constantes.
  • Queremos a intensidade máxima da corrente induzida I_{\max}.

Passo 2

Conceito importante: fluxo magnético. A definição é
\Phi(t)=\int \vec{B}(t)\cdot d\vec{A},
onde \Phi(t) é o fluxo magnético, \vec{B}(t) é o campo magnético e d\vec{A} é o vetor de área (módulo igual à área infinitesimal, direção normal à superfície). Aqui, como \vec{B}(t) é uniforme e perpendicular à espira, a integral simplifica para
\Phi(t)=B(t)\,A.
Explicando: A é a área total da espira e o produto escalar \vec{B}\cdot \hat{n} é simplesmente B(t) porque \vec{B} está alinhado com a normal da espira.

Passo 3

Lei de Faraday (em forma diferenciada, para a força eletromotriz induzida): a fem induzida é
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}.
Aqui \mathcal{E}(t) tem sinal que indica orientação da corrente (lei de Lenz), mas para achar a intensidade do corrente precisamos do módulo da fem. A corrente induzida, pela lei de Ohm, tem módulo
I(t)=\frac{|\mathcal{E}(t)|}{R}=\frac{1}{R}\left|\frac{d\Phi}{dt}\right|.
Expliquei: \mathcal{E} tem unidades de volt, e R de ohm; dividir dá corrente em ampère.

Passo 4

Substituindo \Phi(t)=B(t)A na expressão da corrente obtemos
I(t)=\frac{1}{R}\left| \frac{d}{dt}\big( A\,B(t)\big)\right| =\frac{A}{R}\left|\frac{dB(t)}{dt}\right|.
Ou seja, a intensidade instantânea é proporcional à taxa de variação temporal do módulo do campo magnético.

Passo 5

Agora calculemos \dfrac{dB(t)}{dt}. Para facilitar, uso a identidade trigonométrica
\cos^{2}(\omega t)=\frac{1+\cos(2\omega t)}{2},
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B(t)=B_{0}\cos^{2}(\omega t)=\frac{B_{0}}{2}+\frac{B_{0}}{2}\cos(2\omega t).
Derivando em relação a t (regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\cos(2\omega t)=-2\omega\sin(2\omega t)):
\frac{dB(t)}{dt}=\frac{B_{0}}{2}\cdot\big(-2\omega\sin(2\omega t)\big)=-B_{0}\,\omega\,\sin(2\omega t).
Expliquei cada passo: a constante \frac{B_0}{2} sai da derivada, e o -2\omega vem de derivar \cos(2\omega t).

Passo 6

Tomando o valor absoluto na expressão da corrente:
I(t)=\frac{A}{R}\left| -B_{0}\,\omega\,\sin(2\omega t)\right| =\frac{A\,B_{0}\,\omega}{R}\,|\sin(2\omega t)|.
A função |\sin(2\omega t)| oscila entre 0 e 1. O valor máximo ocorre quando |\sin(2\omega t)|=1. Portanto o máximo da corrente é
I_{\max}=\frac{A\,B_{0}\,\omega}{R}.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) \displaystyle \frac{\omega B_{0} A}{R}

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