Uma espira condutora plana de área interna A e resistencia elétrica R é posicionada sobre o plano \mathcal{X} \mathcal{Y} de um sistema de coordenadas eartesianas. Ela está imersa em uma regiáo de campo magnético uniforme. mas nāo-estacionário, dado por \overrightarrow{\boldsymbol{B}}(t)=B_{0} \cos ^{2}(\omega t) \bar{z}, onde B_{0} e \omega sāo constantes positivas. Nessa situação, qual é a intensidade máxima da corrente induzida na espira?
(a) \frac{w B_{0} A}{4 R}
(b) \frac{\omega B_{0} A}{\sqrt{2} R}
(c) \frac{\omega B_{0} A}{2 R}
(d) \frac{\omega B_{0} A}{R}
(e) \frac{2 \omega B_{0} A}{R}
(f) \frac{\sqrt{2} \omega B_{0} A}{R}
(g) \frac{4 \omega B_{0} A}{R}
Passo 1
O enunciado pede a intensidade máxima da corrente induzida numa espira plana de área interna A e resistência elétrica R, colocada no plano \mathcal{X}\mathcal{Y} e sujeita a um campo magnético uniforme não-estacionário \overrightarrow{\boldsymbol{B}}(t)=B_{0}\cos^{2}(\omega t)\,\hat{z}. Informações relevantes dadas:
A espira tem área interna A e resistência R.
O campo magnético é uniforme, perpendicular à espira (direção \hat{z}), com módulo B(t)=B_{0}\cos^{2}(\omega t).
B_{0}>0 e \omega>0 são constantes.
Queremos a intensidade máxima da corrente induzida I_{\max}.
Passo 2
Conceito importante: fluxo magnético. A definição é
\Phi(t)=\int \vec{B}(t)\cdot d\vec{A},
onde \Phi(t) é o fluxo magnético, \vec{B}(t) é o campo magnético e d\vec{A} é o vetor de área (módulo igual à área infinitesimal, direção normal à superfície). Aqui, como \vec{B}(t) é uniforme e perpendicular à espira, a integral simplifica para
\Phi(t)=B(t)\,A.
Explicando: A é a área total da espira e o produto escalar \vec{B}\cdot \hat{n} é simplesmente B(t) porque \vec{B} está alinhado com a normal da espira.
Passo 3
Lei de Faraday (em forma diferenciada, para a força eletromotriz induzida): a fem induzida é
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}.
Aqui \mathcal{E}(t) tem sinal que indica orientação da corrente (lei de Lenz), mas para achar a intensidade do corrente precisamos do módulo da fem. A corrente induzida, pela lei de Ohm, tem módulo