Neste problema, vocês vão explorar, em grupo, as simetrias existentes no problema de um fio condutor infinito, de raio a, preenchido por uma densidade de corrente volumétrica uniforme
e usá-las, junto com as leis de Maxwell, para determinar o campo magnético.
Discutam cada item em grupo antes de escrever a resposta. Certifiquem-se de que todas as pessoas do grupo compreendem o argumento antes de passar ao próximo.
Considere que adotamos um sistema de eixos de tal modo que o fio coincide com o eixo \mathcal{O Z} e a corrente flui no sentido positivo do eixo \mathcal{O Z}. Adote coordenadas cilíndricas (s, \varphi, z) e os vetores unitários \hat{\mathbf{s}}, \hat{\boldsymbol{\varphi}}, \hat{\mathbf{z}}.
(a) Simetrias e forma geral do campo.
Identifique as simetrias do sistema (translações ao longo de z, rotações em torno do eixo z, reflexões em planos que contêm o fio etc.). A partir dessas simetrias, escreva a forma mais geral possível para o campo magnético
Discuta com o grupo quais dependências em (s, \underset{\dot{\mathbf{B}}}{,} z) são permitidas ou proibidas pelas simetrias e escreva a forma simplificada de \overrightarrow{\mathbf{B}} que vocês obtêm. Comente se o fato de o fio ter um raio finito a altera de alguma forma os argumentos de simetria em comparação com um fio “fino” de espessura desprezível.
(b) Lei de Gauss do magnetismo.
Usando a lei de Gauss do magnetismo na forma integral
\oint_{\mathcal{S}} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d a=0,
escolha uma superfície fechada \mathcal{S} apropriada e mostre que a componente B_{s} deve ser nula em todo ponto do espaço (tanto na região interna s<a quanto na região externa s>a ).
(c) Lei de Ampère e componente axial.
Utilizando a lei de Ampère na forma integral
\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot d \overrightarrow{\boldsymbol{\ell}}=\mu_{0} I_{\mathrm{enc}}(\mathcal{C}),
escolha um caminho \mathcal{C} de integração adequado para discutir a possível existência de uma componente B_{z}. Mostre que essa lei implica que B_{z} não pode depender de s. Que argumento de simetria você daria para concluir que B_{z}=0 em todo o espaço?
(d) Simetria sob reflexões.
Este item é independente dos itens (b) e (c). Leia o texto de apoio em anexo sobre vetores polares e pseudovetores e responda a seguir para o sistema do fio infinito proposto no corpo deste enunciado.
Considere reflexões em planos que contêm o eixo \mathcal{O} z (por exemplo, o plano x=0 ou o plano y=0 ). Usando a forma geral de \overrightarrow{\mathbf{B}} obtida em (a) e as regras de transformação de pseudovetores sob reflexão, mostre que as componentes B_{s} e B_{z} devem ser nulas. Seja explícito em relação a:
qual(is) plano(s) de reflexão está usando;
como cada componente de \overrightarrow{\mathbf{B}} se transforma sob essa reflexão;
por que a exigência de que o campo após a reflexão represente a mesma situação física leva a B_{s}=B_{z}=0.
(e) Lei de Ampère e componente azimutal.
(i) Relacione a densidade de corrente volumétrica uniforme \overrightarrow{\mathbf{J}}=J_{0} \hat{\mathbf{z}} com a corrente total i que atravessa a seção reta circular de raio a do fio. Escreva i em função de J_{0} e a.
(ii) Usando a lei de Ampère e escolhendo como curva amperiana uma circunferência de raio s centrada no eixo z, calcule B_{\varphi}(s) separadamente para:
0 \leq s<a (ponto no interior do fio);
s>a (ponto no exterior do fio).
Compare a expressão obtida para s>a com o resultado do campo magnético obtido pela lei de Biot-Savart para um fio retilíneo infinito “fino” que transporta uma corrente estacionária i.
Passo 1
O enunciado fornece um fio condutor cilíndrico infinito, de raio a, alinhado com o eixo \mathcal{O}z, transportando uma densidade de corrente volumétrica uniforme
(a) Identificar as simetrias do sistema e, a partir delas, escrever a forma mais geral possível de \overrightarrow{\mathbf{B}}(s,\varphi,z).
(b) Usando a lei de Gauss do magnetismo na forma integral, mostrar que a componente radial B_{s} é nula em todo espaço (para s<a e s>a).
(c) Usando a lei de Ampère integral, analisar a possibilidade de existir componente axial B_{z}; mostrar que B_{z} não depende de s e usar simetria para concluir que B_{z}=0.
(d) Usar reflexão em planos que contêm o eixo z e as regras de transformação de pseudovetores para mostrar que B_{s}=B_{z}=0 (independente dos itens (b) e (c)).
(e)(i) Relacionar J_{0} com a corrente total i que atravessa a seção do fio. (e)(ii) Usar Ampère com curva circular de raio s para obter B_{\varphi}(s) para 0\le s<a e para s>a e comparar com o resultado da lei de Biot–Savart para fio fino.
Informações relevantes dadas: fio infinito, densidade de corrente constante na seção do fio, coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z), vetores unitários \hat{\mathbf{s}},\hat{\boldsymbol{\varphi}},\hat{\mathbf{z}}.
A resolução seguirá passo a passo usando explicitamente as leis integrais e argumentos de simetria.
Passo 2
Simetrias do sistema e forma geral do campo magnético.
Listei as simetrias físicas óbvias:
Translação ao longo de z: o fio é infinito e uniforme no sentido z. Qualquer deslocamento z\to z+z_{0} deixa o sistema inalterado.
Rotação em torno do eixo z: o fio é cilíndrico e uniforme, então rotações \varphi\to\varphi+\varphi_{0} não mudam o sistema.
Reflexões em qualquer plano que contenha o eixo z (por exemplo, planos x=0 ou y=0) deixam a distribuição de corrente inalterada.
Consequências imediatas sobre dependências das componentes de \overrightarrow{\mathbf{B}}:
Pela simetria de translação em z: nada pode depender de z. Logo \partial/\partial z=0.
Pela simetria de rotação em torno de z: nada pode depender de \varphi. Logo \partial/\partial\varphi=0.
Portanto qualquer componente só pode depender de s: B_{s}=B_{s}(s), B_{\varphi}=B_{\varphi}(s), B_{z}=B_{z}(s).
Escrevendo a forma mais geral compatível com estas simetrias:
Observação sobre o raio finito a: o fato de o fio ter raio finito apenas define uma fronteira entre as regiões interna (s<a) e externa (s>a). As simetrias (translação, rotação, reflexões que contêm o eixo) valem igualmente tanto para fio fino idealizado quanto para fio com raio finito. Portanto os argumentos de simetria acima não mudam por a ser finito.
Passo 3
Usando a lei de Gauss do magnetismo para concluir B_{s}=0.
A lei de Gauss para o campo magnético, na forma integral, diz:
Escolho como superfície fechada \mathcal{S} um cilindro coaxial de raio s e comprimento L. Essa é a escolha natural por respeitar as simetrias do problema. A superfície tem três partes: superfície lateral cilíndrica e duas tampas (cap top e cap bottom).
Calculando o fluxo total:
Fluxo através da superfície lateral (normal = \hat{\mathbf{s}}):\Phi_{\mathrm{lat}}=\int_{z_0}^{z_0+L}\int_{0}^{2\pi} \bigl(B_{s}(s)\bigr)\,s\,d\varphi\,dz = (2\pi s L)\,B_{s}(s).Aqui usei que B_{s} depende apenas de s, pela simetria do Passo 2.
Fluxo através da tampa superior (normal +\hat{\mathbf{z}}):\Phi_{\mathrm{top}}=\int_{0}^{s}\int_{0}^{2\pi} B_{z}(s')\,s'\,d\varphi\,ds' = 2\pi \int_{0}^{s} B_{z}(s')\,s'\,ds'.
Fluxo através da tampa inferior (normal -\hat{\mathbf{z}}):\Phi_{\mathrm{bot}}=-2\pi \int_{0}^{s} B_{z}(s')\,s'\,ds'.As duas tampas se cancelam exatamente porque têm normas opostas e o integrando (função de s' apenas) é o mesmo.
A lei de Gauss exige \Phi_{\mathrm{lat}}+\Phi_{\mathrm{top}}+\Phi_{\mathrm{bot}}=0. Como \Phi_{\mathrm{top}}+\Phi_{\mathrm{bot}}=0, segue:
(2\pi s L)\,B_{s}(s)=0\quad\Rightarrow\quad B_{s}(s)=0\quad\text{para todo }s\\ .
Conclusão: a componente radial é zero em todo espaço (tanto s<a quanto s>a):
B_{s}(s)\equiv 0.
Passo 4
Lei de Ampère e análise da componente axial B_{z}.
Para testar se B_{z} pode existir e se depende de s, escolho como curva de integração \mathcal{C} um retângulo no plano meridiano (plano que contém o eixo z): dois segmentos paralelos ao eixo z localizados às distâncias radiais s_{1} e s_{2} do eixo, cada um de comprimento L, ligados por dois segmentos radiais que conectam as extremidades. Ou seja, \mathcal{C} é um laço retangular que circula entre os raios s_{1} e s_{2}.
Pelo Passo 3 já sabemos B_{s}=0, então ao integrar \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d\overrightarrow{\ell} ao longo dos segmentos radiais, a contribuição é nula (pois d\overrightarrow{\ell} é radial e B_{s}=0). Nas duas arestas verticais (paralelas a z), d\overrightarrow{\ell}=dz\,\hat{\mathbf{z}} e a contribuição é
\int_{\text{lado em }s_{1}} B_{z}(s_{1})\,dz + \int_{\text{lado em }s_{2}} B_{z}(s_{2})\,(-dz).
Tomando orientação do contorno apropriada, a soma total das contribuições das duas arestas verticais é
\bigl(B_{z}(s_{1})-B_{z}(s_{2})\bigr)\,L.
Como esse laço não envolve corrente (posso posicioná-lo de forma que I_{\mathrm{enc}}=0; por exemplo, escolher s_{1} e s_{2} ambos fora da região que contém corrente, ou de modo geral um laço que não corte o interior do fio), a lei de Ampère dá
Como L é arbitrário, segue B_{z}(s_{1})=B_{z}(s_{2}).
Como s_{1} e s_{2} são quaisquer, concluímos que B_{z} é constante com respeito a s: B_{z}(s)= constante (pode ser diferente entre a região interna e externa se o laço atravessasse corrente, mas com argumentos de continuidade/regularidade e simetria veremos que a constante é a mesma ou zero).
Agora argumento de simetria para concluir B_{z}=0. O sistema é invariante por uma rotação de 180^\circ ao redor de um eixo perpendicular que passa pelo eixo z (ou mais simples: reflexão em um plano que contém z; veremos no Passo 5 a demonstração mais explícita). Intuitivamente: o sentido positivo de z é escolhido para a corrente, mas nada no problema favorece um sentido especial para um campo magnético na direção z; qualquer B_{z}\ne 0 seria uma quantidade axial que mudaria de sinal sob certas reflexões que deixam a distribuição de correntes inalterada — isso é incompatível com a invariância do sistema, logo a constante deve ser zero. Formalmente: reflexão em um plano contendo z (Passo 5) força B_{z}=0. Portanto
B_{z}(s)\equiv 0.
Passo 5
Reflexões e transformação de pseudovetores — mostrando [B_{s}=B_{z}=0) de forma explícita (item (d)).
Conceito rápido e essencial (sem jargões pesados): o campo magnético \overrightarrow{\mathbf{B}} é um pseudovetor (ou vetor axial). Isso significa que, sob uma transformação de reflexão que tem determinante -1 (por exemplo, reflexão no plano y=0: y\to -y, com matriz R=\operatorname{diag}(1,-1,1)), um pseudovetor transforma como
Escolho explicitamente o plano de reflexão y=0 (plano xz), que contém o eixo z. Esse plano mapeia o ponto (x,y,z) em (x,-y,z). A distribuição de corrente \overrightarrow{\mathbf{J}}=J_{0}\hat{\mathbf{z}} é invariante sob essa reflexão (pois \hat{\mathbf{z}} não muda e as coordenadas do fio permanecem).
Considere um ponto sobre o plano y=0. Esse ponto é invariante pela reflexão (ou seja, sua imagem é ele mesmo). A exigência física de invariância do sistema implica que o campo no ponto refletido deve coincidir com o campo transformado pelo operador que age sobre vetores (a regra do pseudovetor), portanto para um ponto na superfície de reflexão:
Relacione agora com componentes cilíndricas na linha do plano y=0. No plano y=0 e x>0 temos \varphi=0, \hat{\mathbf{s}}=\hat{\mathbf{x}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}}=\hat{\mathbf{y}}. Assim B_{x}=B_{s} e B_{y}=B_{\varphi} naquele local. A partir de B_{x}=0 e B_{z}=0 obtemos B_{s}=0 e B_{z}=0 no plano y=0.
Finalmente, usando a simetria de rotação em torno do eixo z (qualquer plano que contenha o eixo dá o mesmo resultado), se B_{s} e B_{z} são nulos em todos os pontos de um plano que contém z e o sistema é invariante por rotação em \varphi, conclui-se que B_{s}=B_{z}=0 em todo o espaço. O único componente que pode permanecer é B_{\varphi}(s).
Conclusão do item (d): de forma consistente com (b) e (c), as reflexões levam a
Cálculo da corrente total i que atravessa a seção do fio (item (e)(i)).
A corrente total que atravessa a seção circular do fio é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção. Como \overrightarrow{\mathbf{J}}=J_{0}\hat{\mathbf{z}} é uniforme:
i=\iint_{A} \overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{A}} = \iint_{A} J_{0}\,dA = J_{0}\times(\text{área do círculo de raio }a).áí
A área do círculo é \pi a^{2}. Assim:
i = J_{0}\,\pi a^{2}.
Passo 7
Usando a lei de Ampère para calcular B_{\varphi}(s) (item (e)(ii)).
Sabemos agora que o campo tem apenas componente azimutal: \overrightarrow{\mathbf{B}}(s)=B_{\varphi}(s)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} e depende só de s. Escolho como curva amperiana \mathcal{C} a circunferência de raio s, centrada no eixo z, percorrida no sentido positivo de \varphi. O elemento de comprimento é d\overrightarrow{\ell}=s\,d\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
O membro direito é \mu_{0} vezes a corrente total atravessada pelo laço. Dependendo de s temos dois casos:
Caso 0\le s<a (ponto no interior do fio):
a) A corrente encerrada pelo laço é a corrente que passa pela área de raio s, i.e. a fração da corrente total proporcional à área:
Comparação com o resultado de Biot–Savart para fio retilíneo infinito “fino”.
A expressão obtida para s>a é
B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} i}{2\pi s}.
Esse é exatamente o resultado clássico obtido pela lei de Biot–Savart para um fio retilíneo infinito de corrente i (fio fino idealizado). Portanto, fora do fio a distribuição de corrente cilindrica uniforme se comporta, em termos do campo magnético, como se toda a corrente estivesse concentrada ao longo do eixo (pelo princípio da simetria e pela lei de Ampère), reproduzindo a expressão do fio fino.
Resposta
i=\pi a^{2} J_{0}.
\overrightarrow{\mathbf{B}}(s)=B_{\varphi}(s)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} com B_{s}=0 e B_{z}=0.
Para 0\le s<a:\quad B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} J_{0} s}{2}.
Para s>a:\quad B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} i}{2\pi s}=\dfrac{\mu_{0} J_{0} a^{2}}{2s}.