Problema 1.

Neste problema, vocês vão explorar, em grupo, as simetrias existentes no problema de um fio condutor infinito, de raio a, preenchido por uma densidade de corrente volumétrica uniforme
\overrightarrow{\mathbf{J}}=J_{0} \hat{\mathbf{z}}, \quad J_{0}>0
e usá-las, junto com as leis de Maxwell, para determinar o campo magnético.
Discutam cada item em grupo antes de escrever a resposta. Certifiquem-se de que todas as pessoas do grupo compreendem o argumento antes de passar ao próximo.
Considere que adotamos um sistema de eixos de tal modo que o fio coincide com o eixo \mathcal{O Z} e a corrente flui no sentido positivo do eixo \mathcal{O Z}. Adote coordenadas cilíndricas (s, \varphi, z) e os vetores unitários \hat{\mathbf{s}}, \hat{\boldsymbol{\varphi}}, \hat{\mathbf{z}}.
(a) Simetrias e forma geral do campo.
Identifique as simetrias do sistema (translações ao longo de z, rotações em torno do eixo z, reflexões em planos que contêm o fio etc.). A partir dessas simetrias, escreva a forma mais geral possível para o campo magnético
\overrightarrow{\mathbf{B}}(s, \varphi, z)=B_{s}(s, \varphi, z) \hat{\mathbf{s}}+B_{\varphi}(s, \varphi, z) \hat{\varphi}+B_{z}(s, \varphi, z) \hat{\mathbf{z}}
Discuta com o grupo quais dependências em (s, \underset{\dot{\mathbf{B}}}{,} z) são permitidas ou proibidas pelas simetrias e escreva a forma simplificada de \overrightarrow{\mathbf{B}} que vocês obtêm. Comente se o fato de o fio ter um raio finito a altera de alguma forma os argumentos de simetria em comparação com um fio “fino” de espessura desprezível.
(b) Lei de Gauss do magnetismo.
Usando a lei de Gauss do magnetismo na forma integral
\oint_{\mathcal{S}} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d a=0,
escolha uma superfície fechada \mathcal{S} apropriada e mostre que a componente B_{s} deve ser nula em todo ponto do espaço (tanto na região interna s<a quanto na região externa s>a ).
(c) Lei de Ampère e componente axial.
Utilizando a lei de Ampère na forma integral
\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot d \overrightarrow{\boldsymbol{\ell}}=\mu_{0} I_{\mathrm{enc}}(\mathcal{C}),
escolha um caminho \mathcal{C} de integração adequado para discutir a possível existência de uma componente B_{z}. Mostre que essa lei implica que B_{z} não pode depender de s. Que argumento de simetria você daria para concluir que B_{z}=0 em todo o espaço?
(d) Simetria sob reflexões.
Este item é independente dos itens (b) e (c). Leia o texto de apoio em anexo sobre vetores polares e pseudovetores e responda a seguir para o sistema do fio infinito proposto no corpo deste enunciado.
Considere reflexões em planos que contêm o eixo \mathcal{O} z (por exemplo, o plano x=0 ou o plano y=0 ). Usando a forma geral de \overrightarrow{\mathbf{B}} obtida em (a) e as regras de transformação de pseudovetores sob reflexão, mostre que as componentes B_{s} e B_{z} devem ser nulas. Seja explícito em relação a:
  • qual(is) plano(s) de reflexão está usando;
  • como cada componente de \overrightarrow{\mathbf{B}} se transforma sob essa reflexão;
  • por que a exigência de que o campo após a reflexão represente a mesma situação física leva a B_{s}=B_{z}=0.
    (e) Lei de Ampère e componente azimutal.
(i) Relacione a densidade de corrente volumétrica uniforme \overrightarrow{\mathbf{J}}=J_{0} \hat{\mathbf{z}} com a corrente total i que atravessa a seção reta circular de raio a do fio. Escreva i em função de J_{0} e a.
(ii) Usando a lei de Ampère e escolhendo como curva amperiana uma circunferência de raio s centrada no eixo z, calcule B_{\varphi}(s) separadamente para:
  • 0 \leq s<a (ponto no interior do fio);
  • s>a (ponto no exterior do fio).
Compare a expressão obtida para s>a com o resultado do campo magnético obtido pela lei de Biot-Savart para um fio retilíneo infinito “fino” que transporta uma corrente estacionária i.

Passo 1

O enunciado fornece um fio condutor cilíndrico infinito, de raio a, alinhado com o eixo \mathcal{O}z, transportando uma densidade de corrente volumétrica uniforme
\overrightarrow{\mathbf{J}} = J_{0}\,\hat{\mathbf{z}},\qquad J_{0}>0.
Pedidos claros do problema:
  1. (a) Identificar as simetrias do sistema e, a partir delas, escrever a forma mais geral possível de \overrightarrow{\mathbf{B}}(s,\varphi,z).
  2. (b) Usando a lei de Gauss do magnetismo na forma integral, mostrar que a componente radial B_{s} é nula em todo espaço (para s<a e s>a).
  3. (c) Usando a lei de Ampère integral, analisar a possibilidade de existir componente axial B_{z}; mostrar que B_{z} não depende de s e usar simetria para concluir que B_{z}=0.
  4. (d) Usar reflexão em planos que contêm o eixo z e as regras de transformação de pseudovetores para mostrar que B_{s}=B_{z}=0 (independente dos itens (b) e (c)).
  5. (e)(i) Relacionar J_{0} com a corrente total i que atravessa a seção do fio. (e)(ii) Usar Ampère com curva circular de raio s para obter B_{\varphi}(s) para 0\le s<a e para s>a e comparar com o resultado da lei de Biot–Savart para fio fino.
Informações relevantes dadas: fio infinito, densidade de corrente constante na seção do fio, coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z), vetores unitários \hat{\mathbf{s}},\hat{\boldsymbol{\varphi}},\hat{\mathbf{z}}.
A resolução seguirá passo a passo usando explicitamente as leis integrais e argumentos de simetria.

Passo 2

Simetrias do sistema e forma geral do campo magnético.
  1. Listei as simetrias físicas óbvias:
    • Translação ao longo de z: o fio é infinito e uniforme no sentido z. Qualquer deslocamento z\to z+z_{0} deixa o sistema inalterado.
    • Rotação em torno do eixo z: o fio é cilíndrico e uniforme, então rotações \varphi\to\varphi+\varphi_{0} não mudam o sistema.
    • Reflexões em qualquer plano que contenha o eixo z (por exemplo, planos x=0 ou y=0) deixam a distribuição de corrente inalterada.
  2. Consequências imediatas sobre dependências das componentes de \overrightarrow{\mathbf{B}}:
    • Pela simetria de translação em z: nada pode depender de z. Logo \partial/\partial z=0.
    • Pela simetria de rotação em torno de z: nada pode depender de \varphi. Logo \partial/\partial\varphi=0.
    • Portanto qualquer componente só pode depender de s: B_{s}=B_{s}(s), B_{\varphi}=B_{\varphi}(s), B_{z}=B_{z}(s).
  3. Escrevendo a forma mais geral compatível com estas simetrias:
\overrightarrow{\mathbf{B}}(s)=B_{s}(s)\,\hat{\mathbf{s}}+B_{\varphi}(s)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}+B_{z}(s)\,\hat{\mathbf{z}}.
  1. Observação sobre o raio finito a: o fato de o fio ter raio finito apenas define uma fronteira entre as regiões interna ( s<a) e externa ( s>a). As simetrias (translação, rotação, reflexões que contêm o eixo) valem igualmente tanto para fio fino idealizado quanto para fio com raio finito. Portanto os argumentos de simetria acima não mudam por a ser finito.

Passo 3

Usando a lei de Gauss do magnetismo para concluir B_{s}=0.
  1. A lei de Gauss para o campo magnético, na forma integral, diz:
\oint_{\mathcal{S}} \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,da=0.
  1. Escolho como superfície fechada \mathcal{S} um cilindro coaxial de raio s e comprimento L. Essa é a escolha natural por respeitar as simetrias do problema. A superfície tem três partes: superfície lateral cilíndrica e duas tampas (cap top e cap bottom).
  2. Calculando o fluxo total:
    • Fluxo através da superfície lateral (normal = \hat{\mathbf{s}}): \Phi_{\mathrm{lat}}=\int_{z_0}^{z_0+L}\int_{0}^{2\pi} \bigl(B_{s}(s)\bigr)\,s\,d\varphi\,dz = (2\pi s L)\,B_{s}(s).Aqui usei que B_{s} depende apenas de s, pela simetria do Passo 2.
    • Fluxo através da tampa superior (normal +\hat{\mathbf{z}}): \Phi_{\mathrm{top}}=\int_{0}^{s}\int_{0}^{2\pi} B_{z}(s')\,s'\,d\varphi\,ds' = 2\pi \int_{0}^{s} B_{z}(s')\,s'\,ds'.
    • Fluxo através da tampa inferior (normal -\hat{\mathbf{z}}): \Phi_{\mathrm{bot}}=-2\pi \int_{0}^{s} B_{z}(s')\,s'\,ds'.As duas tampas se cancelam exatamente porque têm normas opostas e o integrando (função de s' apenas) é o mesmo.
  3. A lei de Gauss exige \Phi_{\mathrm{lat}}+\Phi_{\mathrm{top}}+\Phi_{\mathrm{bot}}=0. Como \Phi_{\mathrm{top}}+\Phi_{\mathrm{bot}}=0, segue:
(2\pi s L)\,B_{s}(s)=0\quad\Rightarrow\quad B_{s}(s)=0\quad\text{para todo }s\\ .
  1. Conclusão: a componente radial é zero em todo espaço (tanto s<a quanto s>a):
B_{s}(s)\equiv 0.

Passo 4

Lei de Ampère e análise da componente axial B_{z}.
  1. A lei de Ampère na forma integral é
\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{\ell}}=\mu_{0} I_{\mathrm{enc}}(\mathcal{C}).
  1. Para testar se B_{z} pode existir e se depende de s, escolho como curva de integração \mathcal{C} um retângulo no plano meridiano (plano que contém o eixo z): dois segmentos paralelos ao eixo z localizados às distâncias radiais s_{1} e s_{2} do eixo, cada um de comprimento L, ligados por dois segmentos radiais que conectam as extremidades. Ou seja, \mathcal{C} é um laço retangular que circula entre os raios s_{1} e s_{2}.
  2. Pelo Passo 3 já sabemos B_{s}=0, então ao integrar \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d\overrightarrow{\ell} ao longo dos segmentos radiais, a contribuição é nula (pois d\overrightarrow{\ell} é radial e B_{s}=0). Nas duas arestas verticais (paralelas a z), d\overrightarrow{\ell}=dz\,\hat{\mathbf{z}} e a contribuição é
\int_{\text{lado em }s_{1}} B_{z}(s_{1})\,dz + \int_{\text{lado em }s_{2}} B_{z}(s_{2})\,(-dz).
Tomando orientação do contorno apropriada, a soma total das contribuições das duas arestas verticais é
\bigl(B_{z}(s_{1})-B_{z}(s_{2})\bigr)\,L.
  1. Como esse laço não envolve corrente (posso posicioná-lo de forma que I_{\mathrm{enc}}=0; por exemplo, escolher s_{1} e s_{2} ambos fora da região que contém corrente, ou de modo geral um laço que não corte o interior do fio), a lei de Ampère dá
\bigl(B_{z}(s_{1})-B_{z}(s_{2})\bigr)\,L = \mu_{0}\,I_{\mathrm{enc}}(\mathcal{C}) = 0.
Como L é arbitrário, segue B_{z}(s_{1})=B_{z}(s_{2}).
  1. Como s_{1} e s_{2} são quaisquer, concluímos que B_{z} é constante com respeito a s: B_{z}(s)= constante (pode ser diferente entre a região interna e externa se o laço atravessasse corrente, mas com argumentos de continuidade/regularidade e simetria veremos que a constante é a mesma ou zero).
  2. Agora argumento de simetria para concluir B_{z}=0. O sistema é invariante por uma rotação de 180^\circ ao redor de um eixo perpendicular que passa pelo eixo z (ou mais simples: reflexão em um plano que contém z; veremos no Passo 5 a demonstração mais explícita). Intuitivamente: o sentido positivo de z é escolhido para a corrente, mas nada no problema favorece um sentido especial para um campo magnético na direção z; qualquer B_{z}\ne 0 seria uma quantidade axial que mudaria de sinal sob certas reflexões que deixam a distribuição de correntes inalterada — isso é incompatível com a invariância do sistema, logo a constante deve ser zero. Formalmente: reflexão em um plano contendo z (Passo 5) força B_{z}=0. Portanto
B_{z}(s)\equiv 0.

Passo 5

Reflexões e transformação de pseudovetores — mostrando [B_{s}=B_{z}=0) de forma explícita (item (d)).
  1. Conceito rápido e essencial (sem jargões pesados): o campo magnético \overrightarrow{\mathbf{B}} é um pseudovetor (ou vetor axial). Isso significa que, sob uma transformação de reflexão que tem determinante -1 (por exemplo, reflexão no plano y=0: y\to -y, com matriz R=\operatorname{diag}(1,-1,1)), um pseudovetor transforma como
\overrightarrow{\mathbf{B}}' = \det(R)\,R\,\overrightarrow{\mathbf{B}}.
Para R=\operatorname{diag}(1,-1,1) temos \det(R)=-1 e, portanto,
\overrightarrow{\mathbf{B}}' = (-1)\operatorname{diag}(1,-1,1)\,\overrightarrow{\mathbf{B}} = \operatorname{diag}(-1,1,-1)\,\overrightarrow{\mathbf{B}}.
  1. Escolho explicitamente o plano de reflexão y=0 (plano xz), que contém o eixo z. Esse plano mapeia o ponto (x,y,z) em (x,-y,z). A distribuição de corrente \overrightarrow{\mathbf{J}}=J_{0}\hat{\mathbf{z}} é invariante sob essa reflexão (pois \hat{\mathbf{z}} não muda e as coordenadas do fio permanecem).
  2. Considere um ponto sobre o plano y=0. Esse ponto é invariante pela reflexão (ou seja, sua imagem é ele mesmo). A exigência física de invariância do sistema implica que o campo no ponto refletido deve coincidir com o campo transformado pelo operador que age sobre vetores (a regra do pseudovetor), portanto para um ponto na superfície de reflexão:
\overrightarrow{\mathbf{B}}(x,0,z)=\overrightarrow{\mathbf{B}}'(x,0,z)=\operatorname{diag}(-1,1,-1)\,\overrightarrow{\mathbf{B}}(x,0,z).
  1. Escrevendo em componentes cartesianas (B_{x},B_{y},B_{z}) essa equação dá:
\begin{cases} B_{x} = -B_{x} \\\ B_{y} = +B_{y}\\\ B_{z} = -B_{z} \end{cases} \quad\Rightarrow\quad B_{x}=0,\; B_{z}=0,
sem restrição sobre (B_{y}].
  1. Relacione agora com componentes cilíndricas na linha do plano y=0. No plano y=0 e x>0 temos \varphi=0, \hat{\mathbf{s}}=\hat{\mathbf{x}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}}=\hat{\mathbf{y}}. Assim B_{x}=B_{s} e B_{y}=B_{\varphi} naquele local. A partir de B_{x}=0 e B_{z}=0 obtemos B_{s}=0 e B_{z}=0 no plano y=0.
  2. Finalmente, usando a simetria de rotação em torno do eixo z (qualquer plano que contenha o eixo dá o mesmo resultado), se B_{s} e B_{z} são nulos em todos os pontos de um plano que contém z e o sistema é invariante por rotação em \varphi, conclui-se que B_{s}=B_{z}=0 em todo o espaço. O único componente que pode permanecer é B_{\varphi}(s).
  3. Conclusão do item (d): de forma consistente com (b) e (c), as reflexões levam a
\overrightarrow{\mathbf{B}}(s)=B_{\varphi}(s)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},\qquad B_{s}\equiv 0,\; B_{z}\equiv 0.

Passo 6

Cálculo da corrente total i que atravessa a seção do fio (item (e)(i)).
  1. A corrente total que atravessa a seção circular do fio é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção. Como \overrightarrow{\mathbf{J}}=J_{0}\hat{\mathbf{z}} é uniforme:
i=\iint_{A} \overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{A}} = \iint_{A} J_{0}\,dA = J_{0}\times(\text{área do círculo de raio }a).áí
  1. A área do círculo é \pi a^{2}. Assim:
i = J_{0}\,\pi a^{2}.

Passo 7

Usando a lei de Ampère para calcular B_{\varphi}(s) (item (e)(ii)).
  1. Sabemos agora que o campo tem apenas componente azimutal: \overrightarrow{\mathbf{B}}(s)=B_{\varphi}(s)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} e depende só de s. Escolho como curva amperiana \mathcal{C} a circunferência de raio s, centrada no eixo z, percorrida no sentido positivo de \varphi. O elemento de comprimento é d\overrightarrow{\ell}=s\,d\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
  2. A integral de linha da lei de Ampère torna-se
\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d\overrightarrow{\ell} = \int_{0}^{2\pi} B_{\varphi}(s)\, (s\,d\varphi) = B_{\varphi}(s)\, (2\pi s).
  1. O membro direito é \mu_{0} vezes a corrente total atravessada pelo laço. Dependendo de s temos dois casos:
    • Caso 0\le s<a (ponto no interior do fio):
      a) A corrente encerrada pelo laço é a corrente que passa pela área de raio s, i.e. a fração da corrente total proporcional à área:
      I_{\mathrm{enc}} = J_{0}\times(\pi s^{2}) = J_{0}\,\pi s^{2}.
      b) Ampère dá
      B_{\varphi}(s)\,(2\pi s)=\mu_{0}\,J_{0}\,\pi s^{2}.
      c) Resolvendo para B_{\varphi}(s):
      B_{\varphi}(s)=\frac{\mu_{0} J_{0} \pi s^{2}}{2\pi s}=\frac{\mu_{0} J_{0} s}{2}.
    • Caso s>a (ponto no exterior do fio):
      a) A corrente encerrada é toda a corrente do fio:
      I_{\mathrm{enc}}=i=J_{0}\,\pi a^{2}.
      b) Ampère dá
      B_{\varphi}(s)\,(2\pi s)=\mu_{0}\,J_{0}\,\pi a^{2}.
      c) Assim
      B_{\varphi}(s)=\frac{\mu_{0} J_{0} \pi a^{2}}{2\pi s} =\frac{\mu_{0} J_{0} a^{2}}{2s} =\frac{\mu_{0} i}{2\pi s}.
  2. Resumo funcional (peça por peça):
B_{\varphi}(s)=\begin{cases} \dfrac{\mu_{0} J_{0} s}{2}, & 0\le s < a,\\[6pt] \dfrac{\mu_{0} i}{2\pi s}=\dfrac{\mu_{0} J_{0} a^{2}}{2s}, & s>a. \end{cases}]

Passo 8

Comparação com o resultado de Biot–Savart para fio retilíneo infinito “fino”.
  1. A expressão obtida para s>a é
B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} i}{2\pi s}.
  1. Esse é exatamente o resultado clássico obtido pela lei de Biot–Savart para um fio retilíneo infinito de corrente i (fio fino idealizado). Portanto, fora do fio a distribuição de corrente cilindrica uniforme se comporta, em termos do campo magnético, como se toda a corrente estivesse concentrada ao longo do eixo (pelo princípio da simetria e pela lei de Ampère), reproduzindo a expressão do fio fino.

Resposta

i=\pi a^{2} J_{0}.
\overrightarrow{\mathbf{B}}(s)=B_{\varphi}(s)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} com B_{s}=0 e B_{z}=0.
Para 0\le s<a:\quad B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} J_{0} s}{2}.
Para s>a:\quad B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} i}{2\pi s}=\dfrac{\mu_{0} J_{0} a^{2}}{2s}.

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