2^{\text {a }} Questão /3.0 pros./: Uma bola A de 6,75 \mathrm{~N} move-se com velocidade de 5,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} de intensidade quando é atingida por uma bola B de 11,25 \mathrm{~N} que tem velocidade de 3,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} de intensidade. Sabendo que o coeficiente de restituição é de 0,8 e desprezando o atrito, determine:
a) a velocidade de A após o impacto;
b) a velocidade de B após o impacto;
c) a energia perdida no impacto.

Passo 1

O enunciado descreve um choque oblíquo entre duas esferas lisas A e B:
– A tem peso 6,75\\ \mathrm{N} e velocidade inicial de módulo 5,4\\ \mathrm{m/s} dirigida horizontalmente para a direita;
– B tem peso 11,25\\ \mathrm{N} e velocidade inicial de módulo 3,6\\ \mathrm{m/s} dirigida de baixo para cima, fazendo 50^\circ com a vertical (isto equivale a −40^\circ em relação à horizontal);
– No instante do choque, a linha de centros (direção normal ao plano de contato) faz 40^\circ com a horizontal.
O coeficiente de restituição é e=0,8 e não há atrito (logo a componente tangencial da velocidade se conserva).
Precisamos achar:
a) a velocidade de A após o impacto (módulo e direção);
b) a velocidade de B após o impacto (módulo e direção);
c) a energia dissipada no choque.

Passo 2

Calculamos as massas a partir dos pesos ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
m_A=\frac{6,75}{9,81}=0{,}6885\\ \mathrm{kg}, \quad m_B=\frac{11,25}{9,81}=1{,}1469\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Escolhemos dois versores:
\hat n=(\cos40^\circ,\;\sin40^\circ) \quad\text{(normal ao plano de contato)}
\hat t=(-\sin40^\circ,\;\cos40^\circ) \quad\text{(tangencial, perpendicular a \(\hat n\))}
Decompomos as velocidades iniciais \mathbf u_A=(5{,}4,0) e
\mathbf u_B=(3{,}6\cos(-40^\circ),\,3{,}6\sin(-40^\circ)) em componentes normal e tangencial:
u_{A,n}=\mathbf u_A\cdot\hat n, \quad u_{A,t}=\mathbf u_A\cdot\hat t,
u_{B,n}=\mathbf u_B\cdot\hat n, \quad u_{B,t}=\mathbf u_B\cdot\hat t.

Passo 4

Calculamos numericamente essas componentes:
u_{A,n}=5{,}4\cos40^\circ=4{,}136\\ \mathrm{m/s}, \quad u_{A,t}=5{,}4(-\sin40^\circ)=-3{,}472\\ \mathrm{m/s},
u_{B,n}=3{,}6\cos80^\circ=0{,}624\\ \mathrm{m/s}, \quad u_{B,t}=3{,}6(-\sin80^\circ)=-3{,}547\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

No choque sem atrito, as componentes tangenciais não se alteram:
v_{A,t}=u_{A,t},\quad v_{B,t}=u_{B,t}.

Passo 6

Para as componentes normais, aplicamos as fórmulas do choque unidimensional com restituição e:
v_{A,n} =\frac{m_A\,u_{A,n}+m_B\,u_{B,n}-m_B\,e\,(u_{A,n}-u_{B,n})}{m_A+m_B},
v_{B,n} =\frac{m_A\,u_{A,n}+m_B\,u_{B,n}+m_A\,e\,(u_{A,n}-u_{B,n})}{m_A+m_B}.
Substituindo:
u_{A,n}-u_{B,n}=3{,}512\\ \mathrm{m/s},
v_{A,n}=\frac{0{,}6885\cdot4{,}136+1{,}1469\cdot0{,}624 -1{,}1469\cdot0{,}8\cdot3{,}512}{0{,}6885+1{,}1469} =0{,}1866\\ \mathrm{m/s},
v_{B,n}=\frac{0{,}6885\cdot4{,}136+1{,}1469\cdot0{,}624 +0{,}6885\cdot0{,}8\cdot3{,}512}{1{,}8354} =2{,}997\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Recompondo as velocidades finais:
\mathbf v_A =v_{A,n}\,\hat n+v_{A,t}\,\hat t, \quad \mathbf v_B =v_{B,n}\,\hat n+v_{B,t}\,\hat t.
Em coordenadas (x,y) temos:
\mathbf v_A\approx(2{,}375,\,-2{,}539)\\ \mathrm{m/s}, \quad \mathbf v_B\approx(4{,}575,\,-0{,}789)\\ \mathrm{m/s}.
Dessa forma os módulos e direções (em relação à horizontal positiva) são
|\mathbf v_A|=3{,}48\\ \mathrm{m/s},\quad \theta_A=\arctan\!\bigl(\tfrac{-2{,}539}{2{,}375}\bigr)\approx -46{,}5^\circ
(o sinal negativo indica 46{,}5^\circ abaixo da horizontal) e
|\mathbf v_B|=4{,}64\\ \mathrm{m/s},\quad \theta_B=\arctan\!\bigl(\tfrac{-0{,}789}{4{,}575}\bigr)\approx -9{,}8^\circ.

Passo 8

Finalmente, calculamos a energia dissipada:
E_i=\tfrac12\,m_A\,5{,}4^2+\tfrac12\,m_B\,3{,}6^2=17{,}478\\ \mathrm{J},
E_f=\tfrac12\,m_A\,(3{,}48)^2+\tfrac12\,m_B\,(4{,}64)^2=16{,}536\\ \mathrm{J},
\Delta E=E_i-E_f=0{,}942\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) |\mathbf v_A|=3{,}48\\ \mathrm{m/s}, direção 46{,}5^\circ abaixo da horizontal.
b) |\mathbf v_B|=4{,}64\\ \mathrm{m/s}, direção 9{,}8^\circ abaixo da horizontal.
c) Energia perdida \Delta E=0{,}94\\ \mathrm{J}.

Exercícios relacionados