{ }^{\text {a }} Questão (2,5 pts) Calcule a integral dupla:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} 2 e^{y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} 2 e^{y^{2}}\,dy\,dx.
Informações fornecidas:
  • O integrando é 2 e^{y^{2}}.
  • As variáveis e limites são: 0 \le x \le 1 e, para cada x, x \le y \le 1.
  • A região de integração no plano (x,y) é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,1) (porque y vai de x até 1 enquanto x vai de 0 até 1).
    A pergunta única é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?

Passo 2

Por que trocar a ordem de integração? Uma observação prática: integrar 2 e^{y^{2}} em y diretamente não dá uma primitiva elementar (a primitiva de e^{y^{2}} envolve a função erro). Porém o integrando depende só de y, não de x. Se trocarmos a ordem e integrarmos primeiro em x, a integral interna será simples (multiplicar por uma largura em x). Então vamos trocar a ordem de integração — isso é permitido porque a função é contínua na região dada.

Passo 3

Descrever a região e escrever a integral com a ordem trocada. A região é dada por
0 \le x \le 1,\qquad x \le y \le 1.
Para trocar a ordem, fixamos y. Observando a região, y varia de 0 até 1. Para cada valor fixo de y, o x correspondente vai de 0 até y. Portanto a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} 2 e^{y^{2}}\,dx\,dy.

Passo 4

Calcular a integral interna em x. Aqui 2 e^{y^{2}} é constante em relação a x, logo
\int_{0}^{y} 2 e^{y^{2}}\,dx = 2 e^{y^{2}} \cdot \bigl[x\bigr]_{0}^{y} = 2 e^{y^{2}} \cdot (y-0) = 2y e^{y^{2}}.
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral única:
\int_{0}^{1} 2y e^{y^{2}}\,dy.

Passo 5

Resolver a integral \int_{0}^{1} 2y e^{y^{2}}\,dy por substituição. Seja a substituição
u = y^{2}.
Então
du = 2y\,dy.
Quando y=0 temos u=0; quando y=1 temos u=1. Substituindo, a integral fica
\int_{0}^{1} 2y e^{y^{2}}\,dy = \int_{0}^{1} e^{u}\,du.
A primitiva de e^{u} é e^{u}, logo
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Passo 6

Conclusão e interpretação rápida: trocar a ordem de integração foi a chave porque permitiu integrar primeiro em x (onde o integrando é constante) transformando a dupla em uma integral simples que se resolve com uma substituição direta. Resultado final obtido: e-1. Força aí — você já tem a técnica: quando o integrando não tem primitiva numa variável, veja se dá para trocar a ordem!

Resposta

\displaystyle e-1

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