Questão (2,5 pts) Calcule a integral dupla:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações fornecidas:
- O integrando é
. - As variáveis e limites são:
e, para cada , . - A região de integração no plano
é o triângulo com vértices , e (porque vai de até enquanto vai de até ).
A pergunta única é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?
Passo 2
Por que trocar a ordem de integração? Uma observação prática: integrar
em
diretamente não dá uma primitiva elementar (a primitiva de
envolve a função erro). Porém o integrando depende só de
, não de
. Se trocarmos a ordem e integrarmos primeiro em
, a integral interna será simples (multiplicar por uma largura em
). Então vamos trocar a ordem de integração — isso é permitido porque a função é contínua na região dada.
Passo 3
Descrever a região e escrever a integral com a ordem trocada. A região é dada por
Para trocar a ordem, fixamos
. Observando a região,
varia de
até
. Para cada valor fixo de
, o
correspondente vai de
até
. Portanto a integral com ordem trocada é
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Aqui
é constante em relação a
, logo
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral única:
Passo 5
Resolver a integral
por substituição. Seja a substituição
Então
Quando
temos
; quando
temos
. Substituindo, a integral fica
A primitiva de
é
, logo
Passo 6
Conclusão e interpretação rápida: trocar a ordem de integração foi a chave porque permitiu integrar primeiro em
(onde o integrando é constante) transformando a dupla em uma integral simples que se resolve com uma substituição direta. Resultado final obtido:
. Força aí — você já tem a técnica: quando o integrando não tem primitiva numa variável, veja se dá para trocar a ordem!