Questão.(2,5 pts) Calcule a integral dupla:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O integrando é
. - As variáveis e limites são
e, para cada , varia de até . - A tarefa é obter o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Identificação da região de integração no plano
:
- A condição
e descreve o triângulo fechado
Em palavras: é o triângulo acima da reta
, limitado por
e pelo eixo
.
Passo 3
Escolha do método: troca da ordem de integração.
- Observação importante: integrar
em relação a (a integral interior original) não tem primitiva elementar simples. - Em compensação, se fixarmos
e integrarmos em , a expressão é uma exponencial em com coeficiente constante , e essa integral tem primitiva simples. - Como o integrando
é positivo em , podemos trocar a ordem de integração (por Fubini/Tonelli) sem problemas.
Portanto vamos reescrever a integral trocando a ordem: primeiro integrar em, depois em .
Passo 4
Determinar os novos limites após a troca:
- Pelas desigualdades que definem
, para cada com temos . - Logo a integral com a ordem trocada é
Passo 5
Calcular a integral interior
tratando
como constante.
- Façamos a substituição auxiliar
. Então , logo . - Substituindo na integral:
- Voltando à variável
: a primitiva é . - Avaliando entre
e :
Passo 6
Agora integramos o resultado em
:
Calcule
:
Portanto