{ }^{a} Questão.(2,5 pts) Calcule a integral dupla:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} 2 e^{\frac{x}{y}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} 2 e^{\frac{x}{y}}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 2 e^{\frac{x}{y}}.
  • As variáveis e limites são 0\le x\le 1 e, para cada x, y varia de y=x até y=1.
  • A tarefa é obter o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Identificação da região de integração no plano (x,y):
  • A condição 0\le x\le 1 e x\le y\le 1 descreve o triângulo fechado
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 1\}.
Em palavras: é o triângulo acima da reta y=x, limitado por y=1 e pelo eixo x=0.

Passo 3

Escolha do método: troca da ordem de integração.
  • Observação importante: integrar 2 e^{\frac{x}{y}} em relação a y (a integral interior original) não tem primitiva elementar simples.
  • Em compensação, se fixarmos y e integrarmos em x, a expressão e^{\frac{x}{y}} é uma exponencial em x com coeficiente constante \frac{1}{y}, e essa integral tem primitiva simples.
  • Como o integrando 2 e^{\frac{x}{y}} é positivo em R, podemos trocar a ordem de integração (por Fubini/Tonelli) sem problemas.
    Portanto vamos reescrever a integral trocando a ordem: primeiro integrar em x, depois em y.

Passo 4

Determinar os novos limites após a troca:
  • Pelas desigualdades que definem R, para cada y com 0\le y\le 1 temos 0\le x\le y.
  • Logo a integral com a ordem trocada é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} 2 e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy.

Passo 5

Calcular a integral interior \displaystyle \int_{0}^{y} 2 e^{\frac{x}{y}}\,dx tratando y como constante.
  • Façamos a substituição auxiliar \displaystyle u=\frac{x}{y}. Então \displaystyle du=\frac{dx}{y}, logo \displaystyle dx=y\,du.
  • Substituindo na integral:
\int 2 e^{\frac{x}{y}}\,dx = \int 2 e^{u}\, y\,du = 2y\int e^{u}\,du = 2y e^{u}+C.
  • Voltando à variável x: a primitiva é 2y e^{\frac{x}{y}}.
  • Avaliando entre x=0 e x=y:
\int_{0}^{y} 2 e^{\frac{x}{y}}\,dx = \bigl[2y e^{\frac{x}{y}}\bigr]_{x=0}^{x=y} = 2y\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr)=2y(e-1).

Passo 6

Agora integramos o resultado em y:
\int_{0}^{1} 2y(e-1)\,dy = 2(e-1)\int_{0}^{1} y\,dy.
Calcule \displaystyle \int_{0}^{1} y\,dy:
\int_{0}^{1} y\,dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Portanto
2(e-1)\cdot \tfrac{1}{2} = e-1.

Resposta

e-1

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