Escreva a integral abaixo em coordenadas polares. (Não é necessário resolver a integral).
Passo 1
O enunciado pede para escrever em coordenadas polares a integral
onde foi dado o domínio
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Primeiro, lembro a parametrização polar e o elemento de área. Em coordenadas polares usamos as transformações
onde
e
é o ângulo polar. O elemento de área
transforma-se em
Explicação curta do porquê: a área de um pequeno retângulo em coordenadas polares tem largura aproximada
e comprimento aproximado
, portanto a área é
. Outra forma é ver o jacobiano da transformação
, cujo determinante vale
.
Passo 3
Agora transformamos a condição do domínio
para coordenadas polares. Começo substituindo
e
na equação do círculo:
Faço as contas passo a passo:
Uso a identidade
para somar os termos em
:
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando
:
Passo 4
Interpretação da desigualdade
. Como
por definição em coordenadas polares, a desigualdade só pode ser satisfeita quando
Isso exige também que
, ou seja
. Portanto os ângulos permitidos são aqueles com cosseno não negativo:
Observação geométrica rápida: isto faz sentido porque o disco de centro
e raio
fica totalmente à direita do eixo
, ocupando ângulos entre
e
vistos da origem; para cada
nessa faixa,
varia de
até a interseção com a circunferência, que é
.
Passo 5
Transformo agora o integrando
usando as fórmulas polares:
Multiplicando os fatores em
obtemos
Se quiser, uma forma equivalente é deixar os fatores sem multiplicar:
.
Passo 6
Juntando os limites obtidos no Passo 4 e o integrando do Passo 5, a integral dupla em coordenadas polares fica
ou escrito com o integrando simplificado,