Escreva a integral abaixo em coordenadas polares. (Não é necessário resolver a integral).
\begin{aligned} \int_{R} \int x y d A ; R= & \left\{(x, y) ;(x-a)^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right\}, a>0 \\ & \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 a \cos \theta}(r \cos \theta)(r \operatorname{sen} \theta) r d r d \theta \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para escrever em coordenadas polares a integral
\iint_{R} x y \, dA
onde foi dado o domínio
R=\{(x,y)\mid (x-a)^{2}+y^{2}\le a^{2}\},\qquad a>0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{1. A função a ser integrada é }x y.\\\ &\text{2. O domínio }R\text{ é o disco de centro }(a,0)\text{ e raio }a.\\\ &\text{3. Precisamos apenas reescrever a integral em coordenadas polares (não resolver).} \end{aligned}çãéíéã

Passo 2

Primeiro, lembro a parametrização polar e o elemento de área. Em coordenadas polares usamos as transformações
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo polar. O elemento de área dA transforma-se em
dA=r\,dr\,d\theta.
Explicação curta do porquê: a área de um pequeno retângulo em coordenadas polares tem largura aproximada dr e comprimento aproximado r\,d\theta, portanto a área é r\,dr\,d\theta. Outra forma é ver o jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y), cujo determinante vale r.

Passo 3

Agora transformamos a condição do domínio R para coordenadas polares. Começo substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na equação do círculo:
(x-a)^{2}+y^{2}\le a^{2}
\Rightarrow (r\cos\theta-a)^{2}+(r\sin\theta)^{2}\le a^{2}.
Faço as contas passo a passo:
(r\cos\theta-a)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta-2ar\cos\theta+a^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta.
Uso a identidade \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 para somar os termos em r^{2}:
r^{2}-2ar\cos\theta+a^{2}\le a^{2}.
Subtraindo a^{2} dos dois lados:
r^{2}-2ar\cos\theta\le 0.
Fatorando r:
r(r-2a\cos\theta)\le 0.

Passo 4

Interpretação da desigualdade r(r-2a\cos\theta)\le 0. Como r\ge 0 por definição em coordenadas polares, a desigualdade só pode ser satisfeita quando
0\le r\le 2a\cos\theta.
Isso exige também que 2a\cos\theta\ge 0, ou seja \cos\theta\ge 0. Portanto os ângulos permitidos são aqueles com cosseno não negativo:
-\tfrac{\pi}{2}\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
Observação geométrica rápida: isto faz sentido porque o disco de centro (a,0) e raio a fica totalmente à direita do eixo y, ocupando ângulos entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} vistos da origem; para cada \theta nessa faixa, r varia de 0 até a interseção com a circunferência, que é r=2a\cos\theta.

Passo 5

Transformo agora o integrando x y\, dA usando as fórmulas polares:
x y\, dA = (r\cos\theta)(r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta).
Multiplicando os fatores em r obtemos
x y\, dA = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Se quiser, uma forma equivalente é deixar os fatores sem multiplicar: (r\cos\theta)(r\sin\theta)r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Juntando os limites obtidos no Passo 4 e o integrando do Passo 5, a integral dupla em coordenadas polares fica
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2a\cos\theta} (r\cos\theta)(r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta,
ou escrito com o integrando simplificado,
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2a\cos\theta} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Resposta

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2a\cos\theta}(r\cos\theta)(r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta

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