1^{\text {a }} questão. ( 2,0 pts.) Nos itens abaíxo, considere V o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4} gerado pelos seguintes vetores:
\begin{array}{l} v_{1}=(1,1,1,1), v_{2}=(1,0,0,1), v_{3}=(0,1,1,0) \\\ v_{4}=(1,0,1,0), v_{5}=(0,1,2,-1) \text { e } v_{6}=(1,2,3,0) \end{array}
(a) (0,7 pt.) Diga se u=(3,2,1,0) pertence a V. Em caso afirmativo, expresse-o como combinação linear de \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{6}\right\}.

Passo 1

O enunciado fornece o subespaço V\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
v_{1}=(1,1,1,1),\quad v_{2}=(1,0,0,1),\quad v_{3}=(0,1,1,0),
v_{4}=(1,0,1,0),\quad v_{5}=(0,1,2,-1),\quad v_{6}=(1,2,3,0),
e pede, no item (a), para verificar se o vetor
u=(3,2,1,0)
pertence a V. Se pertencer, devemos escrevê‑lo como combinação linear dos v_i.
Lista clara do que foi dado e do que se pede:
  • Dados: os vetores v_1,\dots,v_6 acima e o vetor u.
  • Pergunta (a): decidir se u\in V. Em caso afirmativo, fornecer coeficientes \alpha_1,\dots,\alpha_6 tais que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_6 v_6 = u.

Passo 2

O que significa escrever u como combinação linear dos v_i?
Significa procurar escalares \alpha_1,\dots,\alpha_6\in\mathbb{R} tais que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4+\alpha_5 v_5+\alpha_6 v_6 = u.
Vou chamar \alpha_i de x_i para simplificar a escrita: queremos x_1,\dots,x_6 com
x_1 v_1+x_2 v_2+x_3 v_3+x_4 v_4+x_5 v_5+x_6 v_6 = u.
Explicando: isso dá um sistema linear obtido igualando as coordenadas correspondentes.

Passo 3

Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada (compondo as somas), obtemos o sistema de quatro equações em seis incógnitas x_1,\dots,x_6:
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_4 + x_6 = 3,\\[4pt] x_1 + x_3 + x_5 + 2x_6 = 2,\\[4pt] x_1 + x_3 + x_4 + 2x_5 + 3x_6 = 1,\\[4pt] x_1 + x_2 - x_5 = 0. \end{cases}
Cada linha corresponde a uma coordenada (primeira, segunda, terceira e quarta, respectivamente). Vou usar combinações simples dessas equações para verificar se existe solução.]

Passo 4

Subtrai-se a quarta equação da primeira para eliminar x_1+x_2. Fazendo (\text{eq1})-(\text{eq4}) obtemos:
(x_1+x_2+x_4+x_6)-(x_1+x_2-x_5)=3-0
que reduz a
x_4 + x_5 + x_6 = 3. \tag{A}
Explicação: ao subtrair as equações os termos x_1 e x_2 cancelam, sobrando x_4+x_6 de um lado e +x_5 do outro, igual a 3.

Passo 5

Agora subtraímos a segunda equação da terceira para eliminar x_1+x_3. Fazendo (\text{eq3})-(\text{eq2}) temos:
(x_1+x_3+x_4+2x_5+3x_6)-(x_1+x_3+x_5+2x_6)=1-2
que reduz a
x_4 + x_5 + x_6 = -1. \tag{B}
Explicação: ao subtrair, x_1 e x_3 cancelam, e ficam os termos indicados à esquerda; o lado direito dá 1-2=-1.

Passo 6

Comparando as equações (A) e (B) obtidas:
x_4 + x_5 + x_6 = 3 \qquad\text{e}\qquad x_4 + x_5 + x_6 = -1.
Isso é uma contradição: a mesma combinação linear x_4+x_5+x_6 não pode ter dois valores diferentes simultaneamente. Portanto o sistema não tem solução.
Interpretação: não existem escalares x_1,\dots,x_6 que satisfaçam todas as quatro equações ao mesmo tempo, logo não é possível escrever u como combinação linear dos v_i.

Passo 7

Concluímos, com base na contradição encontrada, que u não pertence ao subespaço V gerado por v_1,\dots,v_6. Em palavras: os geradores dados não conseguem produzir o vetor u.
Observação motivadora: encontrar uma contradição simples como essa (duas expressões diferentes para a mesma combinação) é uma maneira rápida e segura de provar que um vetor não está no subespaço gerado.

Resposta

u\notin V

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