3^{\text {a }} Questão: Sobre a Equação da Conservação da Massa, assinale a alternativa correta:
a) Também conhecida como equação da continuidade, corresponde ao balanço da quantidade de movimento de um sistema fluido em escoamento;
b) Quando aplicada ao regime permanente, como consequência, a vazão volumétrica de entrada deve ser igual à vazão volumétrica de saída;
c) Quando aplicada ao regime permanente e compressível, como consequência, a vazão volumétrica de entrada deve ser igual à vazão volumétrica de saída;
d) Quando aplicada ao regime não permanente, como consequência, ocorre acúmulo ou perda de massa devido a diferença entre a vazão volumétrica de entrada e a vazão volumétrica de saída;
e) Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale a alternativa correta sobre a Equação da Conservação da Massa. As alternativas são (resumindo em uma linha cada):
a) Diz que a equação da continuidade corresponde ao balanço da quantidade de movimento.
b) Diz que, em regime permanente, a vazão volumétrica de entrada deve ser igual à vazão volumétrica de saída.
c) Diz que, em regime permanente e compressível, a vazão volumétrica de entrada deve ser igual à vazão volumétrica de saída.
d) Diz que, em regime não permanente, ocorre acúmulo ou perda de massa devido à diferença entre a vazão volumétrica de entrada e a vazão volumétrica de saída.
e) Nenhuma das anteriores.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: ele quer a afirmação correta sobre a Equação da Conservação da Massa (equação da continuidade). Não há indicações explícitas sobre compressibilidade ou incompressibilidade do fluido no enunciado.

Passo 2

Apresentando a forma geral (integral) da equação da conservação da massa — essa é a forma mais geral e útil para entender as consequências:
\frac{d}{dt}\int_{V} \rho\, dV \;+\; \int_{\partial V} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS \;=\; 0.
Explicando cada termo, devagar e com calma:
  • \rho é a densidade do fluido (massa por unidade de volume).
  • V é um volume de controle fixo no espaço (escolhemos um “bloco” imaginário onde aplicamos o balanço).
  • \frac{d}{dt}\int_{V} \rho\, dV é a taxa de variação temporal da massa contida dentro do volume V — ou seja, quanto a massa dentro do volume está aumentando ou diminuindo com o tempo.
  • \partial V é a superfície que limita V.
  • \mathbf{v} é o campo velocidade do fluido, e \mathbf{n} é o vetor normal exterior à superfície \partial V.
  • \int_{\partial V} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS é o fluxo de massa pela superfície: positivo quando sai massa do volume (convenção usual).
    A equação diz, em palavras: taxa de variação da massa dentro do volume + fluxo líquido de massa para fora = 0. Ou rearranjando,
\frac{d}{dt}\int_{V} \rho\, dV \;=\; -\int_{\partial V} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS,
ou seja, a variação interna de massa é igual ao negativo do fluxo de massa líquido para fora (ou, visto de outro modo, igual ao fluxo de massa líquido para dentro).

Passo 3

Definições úteis que aparecem frequentemente e que nos ajudam a interpretar as alternativas:
  • Vazão mássica através de uma área A:
\dot{m} \;=\; \int_{A} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dA.
Aqui \dot{m} é massa por unidade de tempo (por exemplo, \mathrm{kg/s}).
  • Vazão volumétrica através de uma área A:
Q \;=\; \int_{A} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dA.
Aqui Q é volume por unidade de tempo (por exemplo, \mathrm{m^3/s}).
Relação entre as duas: em uma secção onde a densidade é (aproximadamente) uniforme,
\dot{m} \;=\; \rho\, Q.
Isso é importante: igualdade de vazões mássicas \dot{m} não implica necessariamente igualdade de vazões volumétricas Q, a menos que \rho seja constante (fluido incompressível ou variação de densidade desprezível).

Passo 4

Condições de regime e suas consequências:
  • Regime permanente (steady): por definição, nada muda com o tempo observado no volume de controle, então
\frac{d}{dt}\int_{V} \rho\, dV \;=\; 0.
Da equação integral segue
\int_{\partial V} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS \;=\; 0,
ou seja, fluxo de massa que entra = fluxo de massa que sai (em termos de \dot{m}). Portanto, em regime permanente a quantidade que se conserva é a vazão mássica. Em termos práticos:
  • Se o fluido é incompressível ( \rho constante), então \dot{m}=\rho Q e, como \rho é a mesma nas seções, igualdade das vazões mássicas implica igualdade das vazões volumétricas: Q_{\text{entrada}} = Q_{\text{saída}}í.
  • Se o fluido é compressível (densidade varia), a vazão mássica é a que permanece igual; as vazões volumétricas podem diferir porque \rho pode ser diferente entre entradas/saídas.
Conclusão parcial (importante para analisar alternativas): em regime permanente a igualdade é de vazão mássica sempre; igualdade de vazão volumétrica só ocorre quando \rho é constante (incompressível).

Passo 5

Regime não permanente (unsteady) e acúmulo de massa:
Da equação integral, para um volume de controle fixo:
\frac{d}{dt}\int_{V} \rho\, dV \;=\; -\int_{\partial V} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS.
Interpretando: a taxa de aumento de massa dentro do volume é igual ao fluxo de massa que entra menos o que sai. Em linguagem simples: se entra mais massa do que sai, a massa dentro do volume aumenta (acumula); se sai mais do que entra, a massa dentro do volume diminui (perda).
Se o fluido for incompressível ( \rho constante), essa variação de massa fica proporcional à diferença entre vazões volumétricas:
\frac{d}{dt}\int_{V} \rho\, dV \;=\; \rho\,\frac{dV}{dt} \quad\text{e}\quad \rho\,\frac{dV}{dt} \;=\; \rho\,(Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}),
assim,
\frac{dV}{dt} \;=\; Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}.
Ou seja: em não permanente, diferença entre vazões (volumétricas) causa acúmulo ou perda do volume — e, multiplicando por \rho, causa acúmulo ou perda de massa. Para o caso geral compressível devemos trabalhar com vazões mássicas: diferença entre \dot{m}_{\text{in}} e \dot{m}_{\text{out}} causa acúmulo/perda de massa.

Passo 6

Analisando alternativa por alternativa com base no que vimos:
a) “Também conhecida como equação da continuidade, corresponde ao balanço da quantidade de movimento…” — incorreto. A equação da continuidade é o balanço de massa; o balanço da quantidade de movimento é a equação de Navier–Stokes (ou equação do momento). Portanto a) é falsa.
b) “Quando aplicada ao regime permanente, como consequência, a vazão volumétrica de entrada deve ser igual à vazão volumétrica de saída.” — não é sempre verdadeira. Em regime permanente a igualdade que se impõe é entre vazões mássicas. A igualdade entre vazões volumétricas só vale se a densidade for constante (incompressível). O enunciado de b) não menciona incompressibilidade, logo b) é incorreta em termos gerais.
c) “Quando aplicada ao regime permanente e compressível, como consequência, a vazão volumétrica de entrada deve ser igual à vazão volumétrica de saída.” — claramente falsa: em regime permanente e compressível, o que permanece igual é a vazão mássica; as vazões volumétricas podem mudar (pela variação de \rho). Logo c) é falsa.
d) “Quando aplicada ao regime não permanente, como consequência, ocorre acúmulo ou perda de massa devido a diferença entre a vazão volumétrica de entrada e a vazão volumétrica de saída.” — essa afirmação está essencialmente correta na interpretação típica: em regime não permanente existe acumulação ou perda de massa devido à diferença entre fluxo de entrada e saída. Tecnicamente, a equação fala de fluxo de massa ( \dot{m}); a alternativa usa “vazão volumétrica”. Portanto, d) é correta quando se assume incompressibilidade (ou densidade constante) — e é corretamente a ideia física geral: diferença de fluxos causa acúmulo/perda. Entre as alternativas dadas, d) é a que expressa corretamente a consequência do caráter não permanente da equação da massa (a única imprecisão é a palavra “volumétrica” sem dizer compressibilidade, mas o enunciado típico admite essa leitura).
e) “Nenhuma das respostas anteriores.” — como d) está correta no sentido prático/esperado, e outras estão erradas, e) é falsa.

Passo 7

Resumo didático final (puxando tudo junto):
  • A equação da continuidade é o balanço de massa, não o balanço de momento (a).
  • Em regime permanente o que é igual é a vazão mássica; igualdade de vazão volumétrica ocorre apenas se \rho for constante (b e c estão incorretas como enunciadas).
  • Em regime não permanente, diferença entre fluxos (no sentido correto de massa; ou entre vazões volumétricas se \rho constante) gera acúmulo ou perda — isto é exatamente o que d) descreve. Portanto d) é a alternativa correta no contexto apresentado.
    Força aí — essa parte de diferença massa/volume e compressibilidade confunde muita gente, mas a ideia central é: continuidade = conservação de massa; steady => vazão mássica constante; unsteady => acúmulo se entrar mais do que sai.

Resposta

d)

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