1^{\text {a }} QUESTÃO (VALOR: 4 PONTOS)

Pretende-se aquecer pequenos bastões cilíndricos de aço de 12 mm de diâmetro externo em um forno de convecção forçada. No interior do forno, ar escoa na velocidade de 10 \mathrm{m} / \mathrm{s} e na temperatura de 750^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a temperatura inicial dos bastões é de 25^{\circ} \mathrm{C}, determine o tempo necessário para que eles atinjam 500^{\circ} \mathrm{C}. São fornecidas as propriedades do aço: k=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \rho=7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e C p=600 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Já as propriedades do ar na temperatura do filme são: \rho=0,426 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \quad \mu=375,1 \cdot 10^{-7} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, k=58,1 \cdot 10^{-3} W / m . K e \operatorname{Pr}=0,711.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado (peguei todos os números no enunciado):
  • Pedido: determinar o tempo necessário para que bastões cilíndricos de aço (diâmetro externo 12\\ \text{mm}) aqueçam de 25^\circ\text{C} até 500^\circ\text{C} quando expostos a ar em convecção forçada a 750^\circ\text{C} com velocidade 10\\ \text{m/s}.
  • Propriedades do aço (dados do enunciado):
    • condutividade térmica k_s = 40\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • densidade \rho_s = 7800\\ \mathrm{kg/m^3},
    • capacidade térmica C_p = 600\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Propriedades do ar (dados do enunciado, já avaliadas na temperatura do filme):
    • densidade \rho_\infty = 0{,}426\\ \mathrm{kg/m^3},
    • viscosidade dinámica \mu = 375{,}1\times10^{-7}\\ \mathrm{N\cdot s/m^2},
    • condutividade k_\infty = 58{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • número de Prandtl \mathrm{Pr} = 0{,}711.
  • Geometria:
    • diâmetro do bastão D = 12\\ \text{mm} = 0{,}012\\ \text{m}.
    • temperatura do fluido (forno) T_\infty = 750^\circ\text{C}.
    • temperatura inicial T_i = 25^\circ\text{C}.
    • temperatura alvo T(t) = 500^\circ\text{C}.
Observação: a estratégia é primeiro obter o coeficiente de convecção convectivo h usando correlações para escoamento externo sobre cilindro, verificar se a aproximação de corpo de “capacitância concentrada” (lumped capacitance) vale (usando número de Biot), e se valer usar a solução transiente exponencial simples para achar o tempo. Não foi pedido outro tipo de saída (por ex. perfil radial), então essa é a abordagem natural.

Passo 2

Cálculo do número de Reynolds do escoamento sobre o cilindro e interpretação física.
  • Fórmula do número de Reynolds baseada no diâmetro:
\mathrm{Re}_D = \frac{\rho_\infty V D}{\mu}.
  • Substituindo os valores (usei os valores do enunciado):
\mathrm{Re}_D = \frac{0{,}426\cdot 10\cdot 0{,}012}{375{,}1\times10^{-7}}.
  • Cálculo numérico:
\mathrm{Re}_D \approx \frac{0{,}05112}{3{,}751\times10^{-5}} \approx 1363.
Interpretação curta: \mathrm{Re}_D\approx1363 é um escoamento moderado (regime entre laminar e transicional para o fluxo sobre um cilindro), o que indica que precisamos usar uma correlação apropriada para o número de Nusselt médio no escoamento externo sobre cilindro.

Passo 3

Escolha e cálculo da correlação de Nusselt média para cilindro em escoamento externo (corr. de Churchill–Bernstein).
  • Por que usar essa correlação? Ela fornece o valor médio adequado de \overline{\mathrm{Nu}}_D para uma ampla faixa de \mathrm{Re}_D e \mathrm{Pr} e é padrão em problemas de convecção externa sobre cilindros.
  • A correlação é:
\overline{\mathrm{Nu}}_D = 0{,}3 + \frac{0{,}62\,\mathrm{Re}_D^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}}{\left[1+(0{,}4/\mathrm{Pr})^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1+\left(\frac{\mathrm{Re}_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
  • Substituindo \mathrm{Re}_D\approx1363 e \mathrm{Pr}=0{,}711:
    • \mathrm{Re}_D^{1/2}\approx 36{,}92.
    • \mathrm{Pr}^{1/3}\approx 0{,}892.
    • \left[1+(0{,}4/\mathrm{Pr})^{2/3}\right]^{1/4}\approx 1{,}139.
    • \left[1+\left(\dfrac{\mathrm{Re}_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}\approx 1{,}0284.
  • Calculando o termo principal:
\overline{\mathrm{Nu}}_D \approx 0{,}3 + \frac{0{,}62\cdot 36{,}92\cdot 0{,}892}{1{,}139}\cdot 1{,}0284 \approx 18{,}7.
(Valores arredondados nas etapas intermediárias; o resultado final para \overline{\mathrm{Nu}}_D é \approx 18{,}7.)

Passo 4

Cálculo do coeficiente convectivo h a partir de \overline{\mathrm{Nu}}_D.
  • Relação entre Nusselt, h e k_\infty:
\overline{\mathrm{Nu}}_D = \frac{h D}{k_\infty} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{\overline{\mathrm{Nu}}_D\, k_\infty}{D}.
  • Substituindo \overline{\mathrm{Nu}}_D\approx 18{,}7, k_\infty = 58{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e D=0{,}012\\ \mathrm{m}:
h \approx \frac{18{,}7\cdot 0{,}0581}{0{,}012} \approx 90{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação: h perto de 90\\ \mathrm{W/(m^2K)} é razoável para convecção forçada de ar em altas temperaturas e velocidades moderadas.

Passo 5

Verificação do critério de Biot para usar o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance).
  • Definição do número de Biot:
\mathrm{Bi} = \frac{h L_c}{k_s},
onde L_c é a “comprimento característico” do corpo, definido por L_c = V/A (volume sobre área superficial).
  • Para um cilindro longo (analisando por unidade de comprimento), V/A = \dfrac{\pi D^2/4}{\pi D} = \dfrac{D}{4}. Então L_c = D/4.
  • Substituindo D=0{,}012\\ \mathrm{m}:
L_c = \frac{0{,}012}{4} = 0{,}003\\ \mathrm{m}.
  • Cálculo de \mathrm{Bi} (usei h calculado e k_s=40\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}):
\mathrm{Bi} = \frac{90{,}7\cdot 0{,}003}{40} \approx 0{,}0068.
  • Regra prática: se \mathrm{Bi}\le 0{,}1 o gradiente de temperatura dentro do sólido é pequeno e o corpo pode ser tratado como tendo temperatura uniforme no interior (modelo lumped). Aqui \mathrm{Bi}\approx 0{,}0068 \ll 0{,}1, logo o modelo lumped é aplicável com folga.
Comentário didático rápido: isso significa que a resistência térmica por condução dentro do bastão é muito menor que a resistência à convecção na superfície — o bastão aquece de forma quase uniforme.

Passo 6

Formulação da solução temporal para o modelo de capacitância concentrada e derivação da expressão do tempo.
  • Para o modelo lumped (temperatura uniforme no sólido T_s(t)), a equação transiente é a equação de balanço térmico:
m C_p \frac{dT_s}{dt} = h A \bigl(T_\infty - T_s\bigr),
onde m é a massa do sólido e A a área de troca. Essa EDO tem solução exponencial.
  • Reescrevendo em termos de razão:
\frac{T_s(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \exp\!\left(-\frac{h A}{m C_p}\,t\right).
  • Observação: para um cilindro por unidade de comprimento L, A/L=\pi D e V/L=\pi D^2/4, e a massa por comprimento é m/L=\rho_s V/L=\rho_s \pi D^2/4. Fazendo as simplificações a taxa de decaimento pode ser escrita de forma compacta:
\frac{h A}{m C_p} = \frac{4 h}{\rho_s C_p D}.
  • Definindo a constante de tempo:
\tau = \frac{\rho_s C_p D}{4 h},
a solução fica
\frac{T_s(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = e^{-t/\tau}.
Este é o que vamos usar para achar t tal que T_s(t)=500^\circ\text{C}.

Passo 7

Cálculo numérico da constante de tempo \tau.
  • Usando \rho_s=7800\\ \mathrm{kg/m^3}, C_p=600\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, D=0{,}012\\ \mathrm{m}, h=90{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}:
\tau = \frac{7800\cdot 600\cdot 0{,}012}{4\cdot 90{,}7}.
  • Cálculo passo a passo:
    • \rho_s C_p = 7800\cdot 600 = 4\,680\,000\\ \mathrm{J/(m^3\cdot K)}.
    • \rho_s C_p D = 4\,680\,000 \cdot 0{,}012 = 56\,160.
    • 4h = 4\cdot 90{,}7 = 362{,}8.
    • \tau = 56\,160 / 362{,}8 \approx 154{,}8\\ \mathrm{s}.
Portanto a constante de tempo do aquecimento é aproximadamente \tau\approx 155\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Encontrar o tempo t para que T_s(t)=500^\circ\text{C}.
  • Usamos a expressão:
\frac{T_s(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = e^{-t/\tau}.
  • Substituindo os valores: T_s(t)=500^\circ\text{C}, T_\infty=750^\circ\text{C}, T_i=25^\circ\text{C}:
\frac{500-750}{25-750} = \frac{-250}{-725} = \frac{250}{725}\approx 0{,}34483.
  • Logo:
e^{-t/\tau} = 0{,}34483 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{t}{\tau} = \ln(0{,}34483).
  • Cálculo:
    • \ln(0{,}34483)\approx -1{,}065.
    • t = \tau \cdot 1{,}065 \approx 154{,}8\cdot 1{,}065 \approx 165{,}0\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma sensata, t\approx 165\\ \mathrm{s}, ou seja cerca de 2{,}75\\ \text{min}.

Resposta

\;t \approx 1{,}65\times10^{2}\\ \mathrm{s} \approx 2{,}75\\ \text{min}

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