Pretende-se aquecer pequenos bastões cilíndricos de aço de 12 mm de diâmetro externo em um forno de convecção forçada. No interior do forno, ar escoa na velocidade de 10 \mathrm{m} / \mathrm{s} e na temperatura de 750^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a temperatura inicial dos bastões é de 25^{\circ} \mathrm{C}, determine o tempo necessário para que eles atinjam 500^{\circ} \mathrm{C}. São fornecidas as propriedades do aço: k=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \rho=7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e C p=600 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Já as propriedades do ar na temperatura do filme são: \rho=0,426 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \quad \mu=375,1 \cdot 10^{-7} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, k=58,1 \cdot 10^{-3} W / m . K e \operatorname{Pr}=0,711.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado (peguei todos os números no enunciado):
Pedido: determinar o tempo necessário para que bastões cilíndricos de aço (diâmetro externo 12\\ \text{mm}) aqueçam de 25^\circ\text{C} até 500^\circ\text{C} quando expostos a ar em convecção forçada a 750^\circ\text{C} com velocidade 10\\ \text{m/s}.
diâmetro do bastão D = 12\\ \text{mm} = 0{,}012\\ \text{m}.
temperatura do fluido (forno) T_\infty = 750^\circ\text{C}.
temperatura inicial T_i = 25^\circ\text{C}.
temperatura alvo T(t) = 500^\circ\text{C}.
Observação: a estratégia é primeiro obter o coeficiente de convecção convectivo h usando correlações para escoamento externo sobre cilindro, verificar se a aproximação de corpo de “capacitância concentrada” (lumped capacitance) vale (usando número de Biot), e se valer usar a solução transiente exponencial simples para achar o tempo. Não foi pedido outro tipo de saída (por ex. perfil radial), então essa é a abordagem natural.
Passo 2
Cálculo do número de Reynolds do escoamento sobre o cilindro e interpretação física.
Fórmula do número de Reynolds baseada no diâmetro:
\mathrm{Re}_D = \frac{\rho_\infty V D}{\mu}.
Substituindo os valores (usei os valores do enunciado):
Interpretação curta: \mathrm{Re}_D\approx1363 é um escoamento moderado (regime entre laminar e transicional para o fluxo sobre um cilindro), o que indica que precisamos usar uma correlação apropriada para o número de Nusselt médio no escoamento externo sobre cilindro.
Passo 3
Escolha e cálculo da correlação de Nusselt média para cilindro em escoamento externo (corr. de Churchill–Bernstein).
Por que usar essa correlação? Ela fornece o valor médio adequado de \overline{\mathrm{Nu}}_D para uma ampla faixa de \mathrm{Re}_D e \mathrm{Pr} e é padrão em problemas de convecção externa sobre cilindros.
Regra prática: se \mathrm{Bi}\le 0{,}1 o gradiente de temperatura dentro do sólido é pequeno e o corpo pode ser tratado como tendo temperatura uniforme no interior (modelo lumped). Aqui \mathrm{Bi}\approx 0{,}0068 \ll 0{,}1, logo o modelo lumped é aplicável com folga.
Comentário didático rápido: isso significa que a resistência térmica por condução dentro do bastão é muito menor que a resistência à convecção na superfície — o bastão aquece de forma quase uniforme.
Passo 6
Formulação da solução temporal para o modelo de capacitância concentrada e derivação da expressão do tempo.
Para o modelo lumped (temperatura uniforme no sólido T_s(t)), a equação transiente é a equação de balanço térmico:
m C_p \frac{dT_s}{dt} = h A \bigl(T_\infty - T_s\bigr),
onde m é a massa do sólido e A a área de troca. Essa EDO tem solução exponencial.
Observação: para um cilindro por unidade de comprimento L, A/L=\pi D e V/L=\pi D^2/4, e a massa por comprimento é m/L=\rho_s V/L=\rho_s \pi D^2/4. Fazendo as simplificações a taxa de decaimento pode ser escrita de forma compacta: