Considere a transferência de calor permanente entre duas grandes placas paralelas com temperaturas constantes \mathrm{T}_{1}=300 \mathrm{~K} e \mathrm{T}_{2}=200 \mathrm{~K}, separadas por uma distância de 1 cm . Considere ainda que as superfícies das placas são corpos negros (emissividade \varepsilon=1 ). Pede-se determinar a taxa de transferência de calor entre as placas, por unidade de área, assumindo que o espaço entre as placas é:
Vácuo.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede exatamente a taxa de transferência de calor por unidade de área entre as placas quando o espaço entre elas é vácuo:
  • Temperaturas das placas: \mathrm{T}_{1}=300\\ \mathrm{K} e \mathrm{T}_{2}=200\\ \mathrm{K}.
  • Separação entre as placas: 1\\ \mathrm{cm} (informação dada).
  • Emissividade das superfícies: \varepsilon=1 (superfícies corpos negros).
    O que se pede: determinar a taxa de transferência de calor entre as placas por unidade de área (ou seja, o fluxo de calor radiativo q'', em \mathrm{W\,m^{-2}}), no caso em que o espaço entre as placas é vácuo.

Passo 2

Entendimento físico e simplificações que podemos usar (isso é fundamental para saber qual fórmula aplicar):
  • Como está em vácuo, não há condução nem convecção no meio entre as placas; a troca de energia entre elas é exclusivamente por radiação térmica.
  • As placas são muito grandes e paralelas: o fator de vista (view factor) entre as faces que se encaram é F_{12}=1. Isso significa que toda radiação emitida por uma face atinge a face oposta.
  • Como as superfícies são corpos negros ( \varepsilon=1), cada superfície emite radiação com potência emissiva por unidade de área igual à lei de Stefan–Boltzmann sem perdas adicionais.

Passo 3

Apresentação da lei de Stefan–Boltzmann e explicação das variáveis (a “fórmula principal” que vamos usar):
  • A lei de Stefan–Boltzmann diz que a emissão total por unidade de área de um corpo negro (potência emissiva) é
E_b=\sigma T^{4},
onde:
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • Para duas superfícies pretas (corpos negros) que se encaram com F_{12}=1, a taxa líquida de transferência de energia por unidade de área da placa 1 para a placa 2 é simplesmente a diferença das emissões:
q''=E_{b,1}-E_{b,2}=\sigma\bigl(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\bigr).
Explicação intuitiva: cada placa emite \sigma T^{4} para o ambiente; como toda a potência emitida por uma atinge a outra e vice‑versa, o fluxo líquido é a diferença entre essas emissões.

Passo 4

Comentário sobre a separação de 1\\ \mathrm{cm}: no regime clássico de radiação de corpo negro entre superfícies de grande dimensão (ou seja, fora do regime de “near-field” muito pequeno), a distância não aparece na expressão \sigma(T_1^4-T_2^4) porque o que importa é o balanço entre as potências emitidas e recebidas, e o fator de vista já vale 1. Portanto a informação 1\\ \mathrm{cm} não altera o resultado rádio‑térmico aqui (desde que não estejamos em um regime de interação de campo próximo).

Passo 5

Calcular T_1^{4} e T_2^{4} explicitamente:
T_{1}^{4} = (300\\ \mathrm{K})^{4} = (3{,}00\times10^{2})^{4} = 3^{4}\times10^{8} = 81\times10^{8} = 8{,}10\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}},
T_{2}^{4} = (200\\ \mathrm{K})^{4} = (2{,}00\times10^{2})^{4} = 2^{4}\times10^{8} = 16\times10^{8} = 1{,}60\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
Diferença:
T_{1}^{4}-T_{2}^{4} = 8{,}10\times10^{9}-1{,}60\times10^{9}=6{,}50\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula numérica:
q''=\sigma\bigl(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\bigr).
Substituindo \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} e a diferença calculada:
q''=(5{,}670374419\times10^{-8})\times(6{,}50\times10^{9})\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 7

Fazendo a multiplicação com cuidado (passo a passo):
5{,}670374419\times6{,}50 = 36{,}8574337235,
e o fator de potências de 10 é 10^{-8}\times10^{9}=10^{1}. Portanto
q''=36{,}8574337235\times10^{1}\\ \mathrm{W\,m^{-2}} = 368{,}574337235\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos),
q''\approx368{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 8

Interpretação curta e encorajamento:
  • Resultado prático: cada metro quadrado de uma placa “perde” cerca de 368{,}6\\ \mathrm{W} para a outra por radiação líquida, dado \mathrm{T}_{1}=300\\ \mathrm{K} e \mathrm{T}_{2}=200\\ \mathrm{K}.
  • Observação útil para prova: ao ver duas placas grandes, paralelas e pretas, lembre sempre da simplificação direta q''=\sigma(T_1^4-T_2^4). Isso salva tempo e conta bem fácil na calculadora.

Resposta

\;q''\approx368{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}}

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