1^{\text {a }} questコ̃o: Disponho de uma mola e duas massas iguais, mas năo possuo balança, dispondo apenas de um paquimetro e sei que no local \mathrm{g}=(9,78 \pm 0,05) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Montando um sistema massa mola na vertical, o deslocamento provocado ao colocar uma unica massa é x=(2,45 \pm 0,05) \mathrm{cm}.
a) Colocando o sistema para oscilar, qual o periodo de oscilação esperado?
b) Se eu dobrar o peso, colocando no sistema as duas massas juntas, quanto valeriam o novo deslocamento e o novo período de oscilaçäo?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa–mola vertical em que conhecemos apenas o valor de g=(9,78\pm0,05)\,\mathrm{m/s^2} e o alongamento estático ao pendurar uma massa m, que é
x=(2,45\pm0,05)\,\mathrm{cm}.
Queremos (a) o período de pequenas oscilações com essa massa e (b) ao colocar duas massas idênticas em conjunto.

Passo 2

Na posição de equilíbrio estático temos
m\,g = k\,x,
onde k é a constante elástica da mola. Logo
k = \frac{m\,g}{x}.
O período de oscilação de uma massa m presa a uma mola de constante k é
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Substituindo k encontramos
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{(m\,g/x)}} = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}.

Passo 3

Para a massa única, x=0,0245\,\mathrm{m} e g=9,78\,\mathrm{m/s^2}, então
T_{1} = 2\pi\sqrt{\frac{0,0245}{9,78}} \approx 2\pi\sqrt{0,0025046} \approx 2\pi\,(0,05005) \approx 0,3145\,\mathrm{s}.

Passo 4

Agora a incerteza em T_{1}. Como T\propto x^{1/2}g^{-1/2}, a incerteza relativa é
\frac{\Delta T_{1}}{T_{1}} = \tfrac12\sqrt{\Bigl(\frac{\Delta x}{x}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\Delta g}{g}\Bigr)^{2}} = \tfrac12\sqrt{\bigl(\tfrac{0,0005}{0,0245}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{0,05}{9,78}\bigr)^{2}} \approx 0,0105.
Logo
\Delta T_{1} \approx 0,0105\times0,3145 \approx 0,0033\,\mathrm{s},
ou seja
T_{1} = (0,3145\pm0,0033)\,\mathrm{s}.

Passo 5

Para duas massas idênticas em conjunto temos massa total 2m. No equilíbrio estático
2m\,g = k\,x',
logo
x' = \frac{2m\,g}{k} = 2\,\frac{m\,g}{k} = 2\,x = 2\,(2,45\,\mathrm{cm}) = 4,90\,\mathrm{cm}.
A incerteza em x' é o dobro da incerteza em x, isto é \Delta x'=2\times0,05\,\mathrm{cm}=0,10\,\mathrm{cm}.

Passo 6

O novo período T_{2} para massa 2m é
T_{2} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} = 2\pi\sqrt{2\,\frac{m}{k}} = \sqrt{2}\;T_{1}.
Numericamente
T_{2} = \sqrt{2}\times0,3145\,\mathrm{s} \approx 0,4450\,\mathrm{s}.
Como \Delta T_{2} = \sqrt{2}\,\Delta T_{1}\approx1,414\times0,0033\approx0,0047\,\mathrm{s},
T_{2} = (0,4450\pm0,0047)\,\mathrm{s}.

Resposta

T_{1} = (0,3145\pm0,0033)\,\mathrm{s}.
x' = (4,90\pm0,10)\,\mathrm{cm},\quad T_{2} = (0,4450\pm0,0047)\,\mathrm{s}.

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