( \sim 10.4) Considere um gás de bósons não-interagentes cujo espectro de energia é dado pela expressão \epsilon=\hbar c|\vec{k}|, onde \hbar e c são constantes e \vec{k} é um vetor de onda.
a) Calcule a pressão exercida pelo gás quando o potencial químico for nulo.
b) Compare seu resultado com a expressão da pressão de radiação exercida por um gás de fótons.

Passo 1

O enunciado pede a pressão de um gás de bósons não-interagentes em que a energia de cada modo é
\epsilon=\hbar c|\vec k|\,,
com potencial químico \mu=0.
Conteúdo: estatística de Bose–Einstein no ensemble grand-canônico e conversão da soma sobre modos em integral de energia usando densidade de estados.

Passo 2

No ensemble grand-canônico, o potencial termodinâmico é
\Omega = k_B T\sum_{\vec k}\ln\bigl(1-e^{-\beta\epsilon_{\vec k}}\bigr)\,,
com \beta=(k_B T)^{-1}. Convertendo a soma em integral usando a densidade de estados em 3D para \epsilon=\hbar c k,
D(\epsilon)\,d\epsilon =\frac{V}{2\pi^2}\frac{\epsilon^2}{(\hbar c)^3}\,d\epsilon,
temos
\Omega = k_B T\int_{0}^{\infty}D(\epsilon)\,\ln\bigl(1-e^{-\beta\epsilon}\bigr)\,d\epsilon = \frac{V\,k_B T}{2\pi^2(\hbar c)^3} \int_{0}^{\infty}\epsilon^2\ln\bigl(1-e^{-\beta\epsilon}\bigr)\,d\epsilon.

Passo 3

Façamos a mudança de variável x=\beta\epsilon. Então \epsilon^2\,d\epsilon=(k_B T)^{3}x^{2}dx e
\Omega =\frac{V\,(k_B T)^4}{2\pi^2(\hbar c)^3} \int_{0}^{\infty}x^2\ln\bigl(1-e^{-x}\bigr)\,dx.

Passo 4

Usamos a identidade
\int_{0}^{\infty}x^2\ln\bigl(1-e^{-x}\bigr)\,dx =-\,2\,\zeta(4) =-\frac{\pi^4}{45}.
Logo
\Omega =-\frac{V\,(k_B T)^4}{2\pi^2(\hbar c)^3}\,\frac{\pi^4}{45} =-\,\frac{V\,\pi^2\,(k_B T)^4}{90\,(\hbar c)^3}.
A pressão é P=-\Omega/V, portanto
P =\frac{\pi^2}{90}\,\frac{(k_B T)^4}{(\hbar c)^3}.

Passo 5

Para o gás de fótons reais há g=2 estados de polarização. Inserindo g na densidade de estados, obtém-se
P_{\rm fóton} =g\,\frac{\pi^2}{90}\,\frac{(k_B T)^4}{(\hbar c)^3} =2\,\frac{\pi^2}{90}\,\frac{(k_B T)^4}{(\hbar c)^3} =\frac{\pi^2}{45}\,\frac{(k_B T)^4}{(\hbar c)^3}.ó
Portanto, em comparação, nosso bóson escalar ( g=1) exerce exatamente metade da pressão de um gás de fótons ( g=2).

Resposta

\displaystyle P=\frac{\pi^2}{90}\,\frac{(k_B T)^4}{(\hbar c)^3}, que é exatamente metade da expressão para o gás de fótons reais,
\displaystyle P_{\rm fóton}=\frac{\pi^2}{45}\,\frac{(k_B T)^4}{(\hbar c)^3}ó.

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