(
Considere um gás de bósons não-interagentes cujo espectro de energia é dado pela expressão
, onde
e c são constantes e
é um vetor de onda.
a) Calcule a pressão exercida pelo gás quando o potencial químico for nulo.
b) Compare seu resultado com a expressão da pressão de radiação exercida por um gás de fótons.
a) Calcule a pressão exercida pelo gás quando o potencial químico for nulo.
b) Compare seu resultado com a expressão da pressão de radiação exercida por um gás de fótons.
Passo 1
O enunciado pede a pressão de um gás de bósons não-interagentes em que a energia de cada modo é
com potencial químico
.
Conteúdo: estatística de Bose–Einstein no ensemble grand-canônico e conversão da soma sobre modos em integral de energia usando densidade de estados.
Conteúdo: estatística de Bose–Einstein no ensemble grand-canônico e conversão da soma sobre modos em integral de energia usando densidade de estados.
Passo 2
No ensemble grand-canônico, o potencial termodinâmico é
com
. Convertendo a soma em integral usando a densidade de estados em 3D para
,
temos
Passo 3
Façamos a mudança de variável
. Então
e
Passo 4
Usamos a identidade
Logo
A pressão é
, portanto
Passo 5
Para o gás de fótons reais há
estados de polarização. Inserindo
na densidade de estados, obtém-se
Portanto, em comparação, nosso bóson escalar (
) exerce exatamente metade da pressão de um gás de fótons (
).