( \sim Salinas 9.6) Considere um gás de N elétrons livres no regime ultra-relativístico ocupando um recipiente de volume V. Nesse regime, a relação entre a energia e o momento linear pode ser aproximada por \epsilon=|\vec{p}| c
a) Determine a energia de Fermi desse gás.
b) Qual a energia do gás no estado fundamental ?
c) Obetnha a forma assintótica do calor específico a volume constante no limite de altas temperaturas.

Passo 1

O enunciado trata de um gás de N elétrons livres, ultra-relativístico ( \epsilon=pc), confinado em volume V. Precisamos de:
– a relação entre o número de partículas e o momento de Fermi p_F;
– a energia total no estado fundamental ( T=0);
– o limite de altas temperaturas ( T\gg T_F) para o calor específico a V constante.

Passo 2

Contagem de estados quânticos até p_F. Cada estado ocupa volume (2\pi\hbar)^3 em \vec p-espaço, com degenerescência de spin g=2. Assim
N \;=\; g\,\frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\,\int_{|\vec p|\le p_F}d^3p \;=\; 2\,\frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\;4\pi\!\int_{0}^{p_F}p^2dp \;=\; \frac{V}{3\pi^2\hbar^3}\,p_F^3.

Passo 3

Isolando p_F e obtendo a energia de Fermi \epsilon_F = p_Fc:
p_F^3 = 3\pi^2\hbar^3\;\frac{N}{V} \quad\Longrightarrow\quad p_F = \hbar\bigl(3\pi^2\,N/V\bigr)^{1/3},
\epsilon_F = p_F\,c = \hbar\,c\,(3\pi^2\,N/V)^{1/3}.

Passo 4

Energia total no estado fundamental ( T=0) é
E_0 =\; g\,\frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\, \int_{0}^{p_F}4\pi p^2\,(pc)\,dp \;=\; \frac{V\,c}{\pi^2\hbar^3}\, \int_{0}^{p_F}p^3dp \;=\; \frac{V\,c}{\pi^2\hbar^3}\,\frac{p_F^4}{4}.

Passo 5

Usando N=\tfrac{V}{3\pi^2\hbar^3}p_F^3 e \epsilon_F=p_Fc, obtém-se
E_0 =\; \frac{V\,p_F^3}{\pi^2\hbar^3}\,\frac{p_Fc}{4} =\; \frac{3N}{4}\,\epsilon_F.

Passo 6

No limite T\gg T_F o gás torna-se clássico ultra-relativístico. A média de energia por partícula é
\langle\epsilon\rangle =\frac{\displaystyle\int_0^\infty 4\pi p^2(pc)\,e^{-pc/kT}dp} {\displaystyle\int_0^\infty 4\pi p^2\,e^{-pc/kT}dp} =3\,kT,
logo E\simeq3NkT e
c_V = \bigl(\partial E/\partial T\bigr)_V \simeq 3\,N\,k.

Resposta

(a) \displaystyle \epsilon_F = \hbar\,c\,(3\pi^2\,N/V)^{1/3}.
(b) \displaystyle E_0 = \tfrac{3}{4}\,N\,\epsilon_F.
(c) \displaystyle c_V \sim 3\,N\,k no limite de altas temperaturas.

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