(
Salinas 9.6) Considere um gás de N elétrons livres no regime ultra-relativístico ocupando um recipiente de volume V. Nesse regime, a relação entre a energia e o momento linear pode ser aproximada por
a) Determine a energia de Fermi desse gás.
b) Qual a energia do gás no estado fundamental ?
c) Obetnha a forma assintótica do calor específico a volume constante no limite de altas temperaturas.
a) Determine a energia de Fermi desse gás.
b) Qual a energia do gás no estado fundamental ?
c) Obetnha a forma assintótica do calor específico a volume constante no limite de altas temperaturas.
Passo 1
O enunciado trata de um gás de
elétrons livres, ultra-relativístico (
), confinado em volume
. Precisamos de:
– a relação entre o número de partículas e o momento de Fermi ;
– a energia total no estado fundamental ( );
– o limite de altas temperaturas ( ) para o calor específico a
constante.
– a relação entre o número de partículas e o momento de Fermi
– a energia total no estado fundamental (
– o limite de altas temperaturas (
Passo 2
Contagem de estados quânticos até
. Cada estado ocupa volume
em
-espaço, com degenerescência de spin
. Assim
Passo 3
Isolando
e obtendo a energia de Fermi
:
Passo 4
Energia total no estado fundamental (
) é
Passo 5
Usando
e
, obtém-se
Passo 6
No limite
o gás torna-se clássico ultra-relativístico. A média de energia por partícula é
logo
e
Resposta
(a)
(b)
(c) no limite de altas temperaturas.
(b)
(c)