2^{\text {a }} ) Tome em P_{3}\left(\right. ) as bases \beta=\left[1, t, t^{2}, t^{3}\right] e \beta=\left[1,1+t, t+t^{2}, t^{2}+t^{3}\right]. Calcule as matrizes [D]_{\beta}^{\beta^{\prime}} e[D]_{\beta^{\prime}}^{\beta}, onde D é o operador derivação.

Passo 1

O espaço é P_3, o operador é a derivação
D\colon P_3\to P_3,\quad D(p(t))=p'(t).
As duas bases são
\beta=\bigl[1,\;t,\;t^2,\;t^3\bigr], \qquad \beta'=\bigl[\,1,\;1+t,\;t+t^2,\;t^2+t^3\bigr].
Queremos as matrizes de D enviando coordenadas em \beta para coordenadas em \beta', isto é [D]_{\beta}^{\beta'}, e vice-versa [D]_{\beta'}^{\beta}.

Passo 2

Para montar [D]_{\beta}^{\beta'}\), aplicamos \(D\) a cada vetor de \(\beta\) e expressamos o resultado em \(\beta'\). 1. \(D(1)=0\). Em \(\beta'\) isso é \((0,0,0,0)^\top\). 2. \(D(t)=1\). Procuramos \((c_1,c_2,c_3,c_4)\) tais que \[c_1\cdot1+c_2\,(1+t)+c_3\,(t+t^2)+c_4\,(t^2+t^3)=1.
Dessa equação vem
\begin{cases} c_1+c_2=1,\\\ c_2+c_3=0,\\\ c_3+c_4=0,\\\ c_4=0, \end{cases}
logo (c_1,c_2,c_3,c_4)=(1,0,0,0)\]. 3. \(D(t^2)=2t. Do mesmo modo, resolvendo
c_1+c_2=0,\quad c_2+c_3=2,\quad c_3+c_4=0,\quad c_4=0
vem (c_1,c_2,c_3,c_4)=(-2,2,0,0).
4. D(t^3)=3t^2. Resolvendo
c_1+c_2=0,\;c_2+c_3=0,\;c_3+c_4=3,\;c_4=0
vem (c_1,c_2,c_3,c_4)=(3,-3,3,0).

Passo 3

Reunindo as colunas obtidas, temos
[D]_{\beta}^{\beta'} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & -3\\\\ 0 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para [D]_{\beta'}^{\beta}, aplicamos D a cada vetor de \beta' e expressamos na base \beta, que é a base padrão [1,t,t^2,t^3] — basta ler coeficientes.
  1. D(1)=0\mapsto(0,0,0,0)^\top.
  2. D(1+t)=1\mapsto(1,0,0,0)^\top.
  3. D(t+t^2)=1+2t\mapsto(1,2,0,0)^\top.
  4. D(t^2+t^3)=2t+3t^2\mapsto(0,2,3,0)^\top.

Passo 5

A matriz coluna a coluna é
[D]_{\beta'}^{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

[D]_{\beta}^{\beta'} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & -3\\\\ 0 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad [D]_{\beta'}^{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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