2^{\text {a }} ) Tome em P_{3}\left(\right. ) as bases \beta=\left[1, t, t^{2}, t^{3}\right] e \beta=\left[1,1+t, t+t^{2}, t^{2}+t^{3}\right]. Calcule as matrizes [D]_{\beta}^{\beta^{\prime}} e[D]_{\beta^{\prime}}^{\beta}, onde D é o operador derivação.
Queremos as matrizes de D enviando coordenadas em \beta para coordenadas em \beta', isto é [D]_{\beta}^{\beta'}, e vice-versa [D]_{\beta'}^{\beta}.
Passo 2
Para montar [D]_{\beta}^{\beta'}\), aplicamos \(D\) a cada vetor de \(\beta\) e expressamos o resultado em \(\beta'\).
1. \(D(1)=0\). Em \(\beta'\) isso é \((0,0,0,0)^\top\).
2. \(D(t)=1\). Procuramos \((c_1,c_2,c_3,c_4)\) tais que
\[c_1\cdot1+c_2\,(1+t)+c_3\,(t+t^2)+c_4\,(t^2+t^3)=1.