O texto base é Seção 9 do Capítulo 3, de [1]
- O ponteiro dos minutos de um relógio mede 8 mm de comprimento, enquanto o das horas tem 4 mm de comprimento. Quão rápido está variando a distância entre as pontas dos ponteiros à 1 hora?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei estes dados do texto do problema):
- O ponteiro dos minutos tem comprimento
. - O ponteiro das horas tem comprimento
. - Queremos saber quão rápido está variando a distância entre as pontas dos ponteiros exatamente à 1 hora (ou seja, no instante
).
O que o problema pede:
- Calcular
avaliado no instante .
Passo 2
Modelagem geométrica e fórmula inicial. Vou chamar:
-
o ângulo (medido a partir do 12) do ponteiro dos minutos no tempo . -
o ângulo (medido a partir do 12) do ponteiro das horas no tempo . -
a distância entre as pontas no tempo .
No plano, as pontas formam um triângulo com lados de comprimento
,
e
, e o ângulo entre os lados
e
é
. A lei dos cossenos (vai ser muito útil; abaixo explico ela rapidinho) dá:
Mini-aula sobre a lei dos cossenos (bem curta e prática): num triângulo com lados
onde o ângulo entre
e
é
, vale
. Aqui aplicamos isso ao triângulo formado pelos segmentos da origem às pontas dos dois ponteiros.
Passo 3
Diferenciação temporal (a parte técnica para achar a taxa). Vou derivar ambos os lados da expressão por
. Lembrete das regras usadas:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia).
Derivando:
Simplificando:
Essa fórmula é muito útil: a taxa de variação da distância depende do produto
, do seno do ângulo relativo
, da taxa de variação de
e é inversamente proporcional a
.
Passo 4
Encontrar
(velocidade angular relativa). O ponteiro dos minutos completa uma volta em 60 minutos, então sua velocidade angular é
O ponteiro das horas completa uma volta em 12 horas
minutos, então sua velocidade angular é
Como
, temos
Passo 5
Avaliar
e suas funções trigonométricas no instante
.
Posições exatas às 1:00:
- O ponteiro dos minutos está apontando para o 12, ou seja
(usando 12 como referência de ângulo zero). - O ponteiro das horas está apontando para o 1, que corresponde a
radians, então .
Logo
As funções trigonométricas necessárias:
Passo 6
Calcular
no instante
usando a lei dos cossenos. Substituindo
,
e
:
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto
Passo 7
Agora plugamos tudo na fórmula da derivada encontrada no Passo 3:
Substituindo
,
,
,
e
:
Calcule o numerador passo a passo:
Portanto a expressão exata é
Agora uma aproximação numérica (útil na hora da prova para interpretar o sinal e a ordem de grandeza):
então
Interpretação do sinal: o valor é negativo, isto é, à 1:00 a distância entre as pontas está diminuindo a uma taxa de aproximadamente
por minuto.
Passo 8
Resumo prático (como fazer esse tipo de questão na prova):
- Desenhe o triângulo entre as pontas e aplique a lei dos cossenos para escrever
em função do ângulo relativo . - Diferencie implicitamente para obter
em termos de , e . - Calcule
pela diferença das velocidades angulares (minutos menos horas); converta para rad/min. - Substitua os valores num instante específico, calcule
com a lei dos cossenos e finalize. - Interprete o sinal do resultado (positivo = distância aumentando, negativo = distância diminuindo).