O texto base é Seção 9 do Capítulo 3, de [1]
  1. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 8 mm de comprimento, enquanto o das horas tem 4 mm de comprimento. Quão rápido está variando a distância entre as pontas dos ponteiros à 1 hora?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei estes dados do texto do problema):
  • O ponteiro dos minutos tem comprimento b=8\\ \text{mm}.
  • O ponteiro das horas tem comprimento a=4\\ \text{mm}.
  • Queremos saber quão rápido está variando a distância entre as pontas dos ponteiros exatamente à 1 hora (ou seja, no instante 1{:}00).
O que o problema pede:
  • Calcular \dfrac{d}{dt}\bigl(\text{distância entre as pontas}\bigr)â avaliado no instante 1{:}00.

Passo 2

Modelagem geométrica e fórmula inicial. Vou chamar:
  • \theta_m(t) o ângulo (medido a partir do 12) do ponteiro dos minutos no tempo t.
  • \theta_h(t) o ângulo (medido a partir do 12) do ponteiro das horas no tempo t.
  • d(t) a distância entre as pontas no tempo t.
No plano, as pontas formam um triângulo com lados de comprimento a, b e d, e o ângulo entre os lados a e b é \varphi(t)=\theta_m(t)-\theta_h(t). A lei dos cossenos (vai ser muito útil; abaixo explico ela rapidinho) dá:
d(t)^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\bigl(\varphi(t)\bigr).
Mini-aula sobre a lei dos cossenos (bem curta e prática): num triângulo com lados x,y,z onde o ângulo entre x e y é \alpha, vale \;z^2=x^2+y^2-2xy\cos\alpha. Aqui aplicamos isso ao triângulo formado pelos segmentos da origem às pontas dos dois ponteiros.

Passo 3

Diferenciação temporal (a parte técnica para achar a taxa). Vou derivar ambos os lados da expressão por t. Lembrete das regras usadas:
  • Derivada de d(t)^2 é 2d(t)\,d'(t).
  • Derivada de \cos(\varphi(t)) é -\sin(\varphi(t))\cdot\varphi'(t) (regra da cadeia).
Derivando:
2d\,\frac{dd}{dt} = -2ab\cdot\bigl(-\sin\varphi\bigr)\cdot\frac{d\varphi}{dt} = 2ab\sin\varphi\cdot\frac{d\varphi}{dt}.
Simplificando:
\frac{dd}{dt} = \frac{ab\sin\varphi}{d}\cdot\frac{d\varphi}{dt}.
Essa fórmula é muito útil: a taxa de variação da distância depende do produto ab, do seno do ângulo relativo \varphi, da taxa de variação de \varphi e é inversamente proporcional a d.

Passo 4

Encontrar \dfrac{d\varphi}{dt} (velocidade angular relativa). O ponteiro dos minutos completa uma volta em 60 minutos, então sua velocidade angular é
\omega_m = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\\ \text{rad/min}.
O ponteiro das horas completa uma volta em 12 horas =720 minutos, então sua velocidade angular é
\omega_h = \frac{2\pi}{720} = \frac{\pi}{360}\\ \text{rad/min}.
Como \varphi=\theta_m-\theta_h, temos
\frac{d\varphi}{dt} = \omega_m-\omega_h = \frac{\pi}{30}-\frac{\pi}{360} = \frac{11\pi}{360}\\ \text{rad/min}.

Passo 5

Avaliar \varphi e suas funções trigonométricas no instante 1{:}00.
Posições exatas às 1:00:
  • O ponteiro dos minutos está apontando para o 12, ou seja \theta_m=0 (usando 12 como referência de ângulo zero).
  • O ponteiro das horas está apontando para o 1, que corresponde a 30^\circ = \dfrac{\pi}{6} radians, então \theta_h=\dfrac{\pi}{6}.
Logo
\varphi(1{:}00)=\theta_m-\theta_h = 0-\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}.
As funções trigonométricas necessárias:
\sin\varphi = \sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2},\qquad \cos\varphi = \cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Calcular d no instante 1{:}00 usando a lei dos cossenos. Substituindo a=4, b=8 e \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
d^2 = a^2+b^2-2ab\cos\varphi = 4^2+8^2-2\cdot4\cdot8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
d^2 = 16 + 64 - 64\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 80 - 32\sqrt{3}.
Portanto
d = \sqrt{80-32\sqrt{3}}\\ \text{mm}.

Passo 7

Agora plugamos tudo na fórmula da derivada encontrada no Passo 3:
\frac{dd}{dt} = \frac{ab\sin\varphi}{d}\cdot\frac{d\varphi}{dt}.
Substituindo a=4, b=8, \sin\varphi=-\tfrac{1}{2}, \dfrac{d\varphi}{dt}=\dfrac{11\pi}{360} e d=\sqrt{80-32\sqrt{3}}:
\frac{dd}{dt} = \frac{4\cdot8\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)}{\sqrt{80-32\sqrt{3}}}\cdot\frac{11\pi}{360}.
Calcule o numerador passo a passo:
4\cdot8\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -16, \qquad -16\cdot\frac{11\pi}{360} = -\frac{176\pi}{360} = -\frac{22\pi}{45}.
Portanto a expressão exata é
\frac{dd}{dt} = -\frac{22\pi}{45\sqrt{80-32\sqrt{3}}}\\ \text{mm/min}.
Agora uma aproximação numérica (útil na hora da prova para interpretar o sinal e a ordem de grandeza):
\sqrt{80-32\sqrt{3}}\approx 4{,}95737\\ \text{mm},
então
\frac{dd}{dt}\approx -0{,}3095\\ \text{mm/min}.
Interpretação do sinal: o valor é negativo, isto é, à 1:00 a distância entre as pontas está diminuindo a uma taxa de aproximadamente 0{,}3095\\ \text{mm} por minuto.

Passo 8

Resumo prático (como fazer esse tipo de questão na prova):
  • Desenhe o triângulo entre as pontas e aplique a lei dos cossenos para escrever d^2 em função do ângulo relativo \varphi.
  • Diferencie implicitamente para obter \dot d em termos de \sin\varphi, \dot\varphi e d.
  • Calcule \dot\varphi pela diferença das velocidades angulares (minutos menos horas); converta para rad/min.
  • Substitua os valores num instante específico, calcule d com a lei dos cossenos e finalize.
  • Interprete o sinal do resultado (positivo = distância aumentando, negativo = distância diminuindo).

Resposta

-\dfrac{22\pi}{45\sqrt{80-32\sqrt{3}}}\\ \text{mm/min} \approx -0,3095\\ \text{mm/min}

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