O texto base é Seção 9 do Capítulo 3, de [1]
- Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 5 km e passa diretamente sobre um telescópio no chão. Quando o ângulo de elevação for
, esse ângulo estará diminuindo a uma taxa de
. A que velocidade o avião está viajando naquele instante?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados do enunciado:
- A altitude do avião é
. Vou chamar essa altura de , então . - O avião voa horizontalmente sobre o chão e passa diretamente sobre um telescópio. Chamo de
a distância horizontal do avião ao ponto do telescópio (ou seja, a projeção horizontal da posição do avião). - O ângulo de elevação do telescópio até o avião é
. Em certo instante . - Nesse instante a taxa de variação do ângulo é
(negativa porque o ângulo está diminuindo).
- A altitude do avião é
- O que o enunciado pede:
- A que velocidade o avião está viajando naquele instante? Ou seja, encontrar
no instante em que e .
- A que velocidade o avião está viajando naquele instante? Ou seja, encontrar
Passo 2
Modelagem geométrica e relação entre as variáveis.
- No triângulo retângulo formado pelo avião (no ar), o telescópio (no chão) e a projeção vertical do avião, vale a relação trigonométrica
Aqui é a tangente do ângulo de elevação , é a altura fixa e é a distância horizontal (variável no tempo). - Posso reescrever isolando
. Como , tem-se - Uma forma útil é usar a cotangente:
. Então
Passo 3
Derivação em relação ao tempo — como relacionar
com
.
- Queremos a velocidade horizontal do avião
. A expressão tem constante e variável com o tempo. - Para diferenciar, uso a regra da cadeia. Lembrete rápido:
- A derivada da função
em relação a é , onde . - Se
, então (essa é a regra da cadeia).
- A derivada da função
- Aplicando isso a
, diferenciando ambos os lados em relação a : Ou seja,
Passo 4
Substituir os valores numéricos na fórmula encontrada.
- Sabemos
, e . - Primeiro calcule
em . -
. - Portanto
. - E
.
-
- Agora substituo tudo em
Fica
Passo 5
Simplificar a expressão e interpretar o resultado.
- Calcule passo a passo:
- Unidade:
estava em e em , então fica em . - O sinal é positivo (
), ou seja, a distância horizontal está aumentando — faz sentido porque o avião já passou sobre o telescópio e está se afastando, então o ângulo de elevação diminui. - Se quiser uma interpretação mais usual em
, multiplico por :