O texto base é Seção 9 do Capítulo 3, de [1]
  1. Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 5 km e passa diretamente sobre um telescópio no chão. Quando o ângulo de elevação for \pi / 3, esse ângulo estará diminuindo a uma taxa de \pi / 6 \mathrm{rad} / \mathrm{min}. A que velocidade o avião está viajando naquele instante?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados do enunciado:
    • A altitude do avião é 5\\ \text{km}. Vou chamar essa altura de h, então h=5.
    • O avião voa horizontalmente sobre o chão e passa diretamente sobre um telescópio. Chamo de x a distância horizontal do avião ao ponto do telescópio (ou seja, a projeção horizontal da posição do avião).
    • O ângulo de elevação do telescópio até o avião é \theta. Em certo instante \theta=\pi/3.
    • Nesse instante a taxa de variação do ângulo é \dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{\pi}{6}\\ \text{rad/min} (negativa porque o ângulo está diminuindo).
  • O que o enunciado pede:
    • A que velocidade o avião está viajando naquele instante? Ou seja, encontrar \dfrac{dx}{dt} no instante em que \theta=\pi/3 e \dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{\pi}{6}\\ \text{rad/min}.

Passo 2

Modelagem geométrica e relação entre as variáveis.
  • No triângulo retângulo formado pelo avião (no ar), o telescópio (no chão) e a projeção vertical do avião, vale a relação trigonométrica \tan(\theta)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{h}{x}.Aqui \tan(\theta) é a tangente do ângulo de elevação \theta, h é a altura fixa 5\\ \text{km} e x é a distância horizontal (variável no tempo).
  • Posso reescrever isolando x. Como \tan(\theta)=\dfrac{h}{x}, tem-se x=\frac{h}{\tan(\theta)}.
  • Uma forma útil é usar a cotangente: \cot(\theta)=\dfrac{1}{\tan(\theta)}. Então x=h\cot(\theta).

Passo 3

Derivação em relação ao tempo — como relacionar \dfrac{dx}{dt} com \dfrac{d\theta}{dt}.
  • Queremos a velocidade horizontal do avião \dfrac{dx}{dt}. A expressão x=h\cot(\theta) tem h constante e \theta=\theta(t) variável com o tempo.
  • Para diferenciar, uso a regra da cadeia. Lembrete rápido:
    • A derivada da função \cot(u) em relação a u é \dfrac{d}{du}\cot(u)=-\csc^2(u), onde \csc(u)=1/\sin(u).
    • Se u=u(t), então \dfrac{d}{dt}\cot(u(t))=-\csc^2(u(t))\cdot \dfrac{du}{dt} (essa é a regra da cadeia).
  • Aplicando isso a x=h\cot(\theta(t)), diferenciando ambos os lados em relação a t: \frac{dx}{dt}=h\cdot\frac{d}{dt}\cot(\theta)=h\cdot\big(-\csc^2(\theta)\big)\cdot\frac{d\theta}{dt}.Ou seja, \frac{dx}{dt}=-h\,\csc^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos na fórmula encontrada.
  • Sabemos h=5\\ \text{km}, \theta=\pi/3 e \dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{\pi}{6}\\ \text{rad/min}.
  • Primeiro calcule \csc^2(\theta) em \theta=\pi/3.
    • \sin(\pi/3)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    • Portanto \csc(\pi/3)=\dfrac{1}{\sin(\pi/3)}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
    • E \csc^2(\pi/3)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\dfrac{4}{3}.
  • Agora substituo tudo em \frac{dx}{dt}=-h\,\csc^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}.Fica \frac{dx}{dt}=-5\cdot\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right).

Passo 5

Simplificar a expressão e interpretar o resultado.
  • Calcule passo a passo: \frac{dx}{dt}=-5\cdot\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right) =5\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{6}.
\frac{dx}{dt}=5\cdot\frac{4\pi}{18}=5\cdot\frac{2\pi}{9}=\frac{10\pi}{9}.
  • Unidade: h estava em \text{km} e \dfrac{d\theta}{dt} em \text{rad/min}, então \dfrac{dx}{dt} fica em \text{km/min}.
  • O sinal é positivo ( \dfrac{dx}{dt}>0), ou seja, a distância horizontal x está aumentando — faz sentido porque o avião já passou sobre o telescópio e está se afastando, então o ângulo de elevação diminui.
  • Se quiser uma interpretação mais usual em \text{km/h}, multiplico por 60: \frac{dx}{dt}=\frac{10\pi}{9}\\ \text{km/min}=\frac{10\pi}{9}\cdot60\\ \text{km/h}=\frac{200\pi}{3}\\ \text{km/h}\approx 209{,}44\\ \text{km/h}.

Resposta

\dfrac{10\pi}{9}\\ \text{km/min}
\dfrac{200\pi}{3}\\ \text{km/h}\approx 209{,}44\\ \text{km/h}

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