Texto Discuta as semelhanças e as diferenças entre os conceitos “campo vetorial” e “campo de direçães”.

Passo 1

O enunciado pede que a gente compare dois objetos geométricos muito usados em Cálculo e Equações Diferenciais: o campo vetorial, que é uma função que a cada ponto associa um vetor com módulo e direção, e o campo de direções, que a cada ponto associa apenas uma direção (normalmente para visualizar soluções de uma EDO de primeira ordem). Vamos precisar dos conceitos de função vetorial, representação gráfica de vetores e da forma como se gera um campo de direções a partir de uma equação diferencial do tipo
dydx=f(x,y)

Passo 2

Definição de campo vetorial. Um campo vetorial em R^n é uma aplicação
F:R^ntoR^n
tal que a cada ponto PinR^n está associado um vetor F(P) com módulo e direção específicos. Por exemplo, em R^2 se F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)), então em cada (x,y) desenhamos uma flecha de comprimento raizP(x,y)^2+Q(x,y)^2 apontando na direção dada pelo ângulo tan^-1(Q/P).

Passo 3

Definição de campo de direções. Um campo de direções nasce de uma equação diferencial de primeira ordem
dydx=f(x,y)
Em cada ponto (x,y) do plano, em vez de desenhar um vetor com módulo, desenha-se apenas um segmento de reta orientado segundo a inclinação f(x,y). Em geral toma-se o vetor de direção (1,f(x,y)) ou a sua versão normalizada l(1,f(x,y)r)/raiz1+f(x,y)^2. O comprimento do segmento não tem significado físico, só importa o seu ângulo.

Passo 4

Semelhanças.
Em ambos os casos construímos um “mapa” de flechas no domínio. Graficamente, tanto o campo vetorial quanto o campo de direções mostram, ponto a ponto, para onde vai a seta e com que orientação ela se situa. Esse retrato facilita entender trajetórias: em campo vetorial, linhas de fluxo seguem os vetores; em campo de direções, curvas solução tangenciam esses segmentos.

Passo 5

Diferenças.
1. Módulo vs. direção pura. No campo vetorial, o comprimento de cada vetor é importante e caracteriza intensidade (por ex., velocidade de um fluido). No campo de direções, o comprimento é arbitrário e só a direção importa.
2. Origem conceitual. Campo vetorial é dado por uma função vetorial livre, sem vínculo direto a EDOs. Campo de direções é sempre gerado por uma equação diferencial tfracdydx=f(x,y).
3. Uso. Campo vetorial serve em Física e Geometria para modelar forças, fluxos, gradientes etc. Campo de direções serve para visualizar qualitativamente soluções de EDOs de primeira ordem, sem precisar resolver explicitamente.

Resposta

O campo vetorial associa a cada ponto um vetor com módulo e orientação, enquanto o campo de direções associa apenas uma orientação (obtida da inclinação de uma EDO). Gráficos de ambos mostram flechas no plano, mas no campo vetorial o comprimento traduz magnitude física, e no campo de direções só se considera o ângulo para guiar as curvas soluções.

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