Texto Discuta as semelhanças e as diferenças entre os conceitos “campo vetorial” e “campo de direçães”.
Passo 1
O enunciado pede que a gente compare dois objetos geométricos muito usados em Cálculo e Equações Diferenciais: o campo vetorial, que é uma função que a cada ponto associa um vetor com módulo e direção, e o campo de direções, que a cada ponto associa apenas uma direção (normalmente para visualizar soluções de uma EDO de primeira ordem). Vamos precisar dos conceitos de função vetorial, representação gráfica de vetores e da forma como se gera um campo de direções a partir de uma equação diferencial do tipo
Passo 2
Definição de campo vetorial. Um campo vetorial em
é uma aplicação
tal que a cada ponto
está associado um vetor
com módulo e direção específicos. Por exemplo, em
se
, então em cada
desenhamos uma flecha de comprimento
apontando na direção dada pelo ângulo
.
Passo 3
Definição de campo de direções. Um campo de direções nasce de uma equação diferencial de primeira ordem
Em cada ponto
do plano, em vez de desenhar um vetor com módulo, desenha-se apenas um segmento de reta orientado segundo a inclinação
. Em geral toma-se o vetor de direção
ou a sua versão normalizada
. O comprimento do segmento não tem significado físico, só importa o seu ângulo.
Passo 4
Semelhanças.
Em ambos os casos construímos um “mapa” de flechas no domínio. Graficamente, tanto o campo vetorial quanto o campo de direções mostram, ponto a ponto, para onde vai a seta e com que orientação ela se situa. Esse retrato facilita entender trajetórias: em campo vetorial, linhas de fluxo seguem os vetores; em campo de direções, curvas solução tangenciam esses segmentos.
Em ambos os casos construímos um “mapa” de flechas no domínio. Graficamente, tanto o campo vetorial quanto o campo de direções mostram, ponto a ponto, para onde vai a seta e com que orientação ela se situa. Esse retrato facilita entender trajetórias: em campo vetorial, linhas de fluxo seguem os vetores; em campo de direções, curvas solução tangenciam esses segmentos.
Passo 5
Diferenças.
. Módulo vs. direção pura. No campo vetorial, o comprimento de cada vetor é importante e caracteriza intensidade (por ex., velocidade de um fluido). No campo de direções, o comprimento é arbitrário e só a direção importa.
. Origem conceitual. Campo vetorial é dado por uma função vetorial livre, sem vínculo direto a EDOs. Campo de direções é sempre gerado por uma equação diferencial
.
. Uso. Campo vetorial serve em Física e Geometria para modelar forças, fluxos, gradientes etc. Campo de direções serve para visualizar qualitativamente soluções de EDOs de primeira ordem, sem precisar resolver explicitamente.
Resposta
O campo vetorial associa a cada ponto um vetor com módulo e orientação, enquanto o campo de direções associa apenas uma orientação (obtida da inclinação de uma EDO). Gráficos de ambos mostram flechas no plano, mas no campo vetorial o comprimento traduz magnitude física, e no campo de direções só se considera o ângulo para guiar as curvas soluções.