Texto Em aplicações físicas, muitas vezes, é necessário lidar com quantidades vetoriais que dependem não apenas da posição no espaço, mas também do tempo. Dê alguns exemplos e discuta como o conceito de campo vetorial deveria ser alterado para ser aplicável a essas situações.
Passo 1
O enunciado pede para dar exemplos de grandezas vetoriais em física que dependem de posição e também de tempo, e depois discutir como o conceito usual de campo vetorial (que é função de posição) deve ser estendido para acomodar essa dependência temporal. O conteúdo envolve noções de campo vetorial, dependência tempo-espaço e operações de cálculo vetorial com derivada parcial e material.
Passo 2
Apresentar alguns exemplos clássicos de campos vetoriais com dependência temporal em física:
- Velocidade de um fluido:
, . - Campo elétrico e magnético em eletromagnetismo:
, , ambos variando conforme as cargas e correntes evoluem no tempo. - Deslocamento em ondas elásticas ou acústicas:
, descrevendo a posição de cada ponto do meio ao longo do tempo.
Passo 3
Formalizar o conceito de campo vetorial no espaço-tempo. Em vez de uma função
, definimos
Para cada instante
fixo,
é um campo vetorial usual; para cada ponto
,
dá a evolução temporal daquela grandeza.
Passo 4
Discutir as operações de cálculo vetorial que surgem:
- Derivada parcial no tempo:
, mede a variação local no tempo em ponto fixo. - Derivadas espaciais a cada instante, como
e , aplicam-se a . - Em fluidos, a derivada material (ou convectiva):
que acompanha a variação de
ao longo de uma partícula fluida.
Passo 5
Relacionar com leis físicas que exigem esse formalismo:
- Equações de Navier–Stokes para dinâmica de fluidos usam
e a derivada material acima. - Equações de Maxwell misturam derivadas no espaço e no tempo:
- Em ondas, a equação de onda vetorial
mostra claramente a dependência
.
Resposta
Em física dinâmica, as grandezas vetoriais costumam variar tanto no espaço quanto no tempo. Para lidar com isso, em vez de definir um campo vetorial como
, ampliamos o domínio para
, de modo que
Isso permite usar derivadas parciais em
e em
, bem como derivadas materiais, incorporando completamente a evolução temporal dos vetores. Exemplos típicos incluem o campo de velocidade de um fluido
, os campos elétrico e magnético
,
, e o deslocamento em ondas
. As leis físicas (Navier–Stokes, Maxwell, equação de onda) são escritas naturalmente nesse formalismo, que une espaço e tempo no conceito de campo vetorial.