Texto Em aplicações físicas, muitas vezes, é necessário lidar com quantidades vetoriais que dependem não apenas da posição no espaço, mas também do tempo. Dê alguns exemplos e discuta como o conceito de campo vetorial deveria ser alterado para ser aplicável a essas situações.

Passo 1

O enunciado pede para dar exemplos de grandezas vetoriais em física que dependem de posição e também de tempo, e depois discutir como o conceito usual de campo vetorial (que é função de posição) deve ser estendido para acomodar essa dependência temporal. O conteúdo envolve noções de campo vetorial, dependência tempo-espaço e operações de cálculo vetorial com derivada parcial e material.

Passo 2

Apresentar alguns exemplos clássicos de campos vetoriais com dependência temporal em física:
  1. Velocidade de um fluido:
    v:R^3timesRtoR^3, (r,t)mapstov(r,t).
  2. Campo elétrico e magnético em eletromagnetismo:
    E:R^3timesRtoR^3, B:R^3timesRtoR^3, ambos variando conforme as cargas e correntes evoluem no tempo.
  3. Deslocamento em ondas elásticas ou acústicas:
    u:R^3timesRtoR^3, descrevendo a posição de cada ponto do meio ao longo do tempo.

Passo 3

Formalizar o conceito de campo vetorial no espaço-tempo. Em vez de uma função
F:R^3toR^3, definimos
F:R^3timesRtoR^3,
(r,t)mapstoF(r,t)
Para cada instante t fixo, F(cdot,t) é um campo vetorial usual; para cada ponto r, F(r,cdot) dá a evolução temporal daquela grandeza.

Passo 4

Discutir as operações de cálculo vetorial que surgem:
  • Derivada parcial no tempo:
    partial Fpartial t(r,t), mede a variação local no tempo em ponto fixo.
  • Derivadas espaciais a cada instante, como nablacdotF e nablatimesF, aplicam-se a F(cdot,t).
  • Em fluidos, a derivada material (ou convectiva):
DvDt =partial vpartial t + (vcdotnabla)v,
que acompanha a variação de v ao longo de uma partícula fluida.

Passo 5

Relacionar com leis físicas que exigem esse formalismo:
  1. Equações de Navier–Stokes para dinâmica de fluidos usam v(r,t) e a derivada material acima.
  2. Equações de Maxwell misturam derivadas no espaço e no tempo:
nablatimes E = -,partial Bpartial t,
nablatimes H = J + partial Dpartial t
  1. Em ondas, a equação de onda vetorial
partial^2 upartial t^2 = c^2nabla^2u
mostra claramente a dependência (r,t)mapstou.

Resposta

Em física dinâmica, as grandezas vetoriais costumam variar tanto no espaço quanto no tempo. Para lidar com isso, em vez de definir um campo vetorial como F:R^3toR^3, ampliamos o domínio para R^3timesR, de modo que
F(r,t) componha o campo vetorial dependente de espaço e tempo ç
Isso permite usar derivadas parciais em t e em r, bem como derivadas materiais, incorporando completamente a evolução temporal dos vetores. Exemplos típicos incluem o campo de velocidade de um fluido v(r,t), os campos elétrico e magnético E(r,t), B(r,t), e o deslocamento em ondas u(r,t). As leis físicas (Navier–Stokes, Maxwell, equação de onda) são escritas naturalmente nesse formalismo, que une espaço e tempo no conceito de campo vetorial.

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