- Texto Discuta as semelhanças e diferenças entre o que significa uma sequência convergir e o que significa uma série convergir.
Passo 1
O enunciado pede para compararmos o conceito de convergência de uma sequência com o conceito de convergência de uma série. O tema é Análise de Limites e Séries Infinitas. Vamos precisar das definições de cada convergência e das propriedades básicas (como o critério de Cauchy e a condição
para séries).
Passo 2
Definição de convergência de sequência: seja
uma sequência de números reais. Dizemos que
converge para
se
isto é, para todo
existe
tal que, para todo
,
.
Passo 3
Definição de convergência de série: seja
uma série de termos
. Definimos a
-ésima soma parcial
A série converge se e somente se a sequência
converge, ou seja, existe
tal que
Passo 4
Semelhanças:
- Em ambos os casos analisamos o limite de uma sequência (
no primeiro, no segundo). - Podemos usar o critério de Cauchy:
- Para sequência
: se . - Para série
: se .
Passo 5
Diferenças:
- Objeto de convergência diferente: sequência olha cada termo
, série olha a soma parcial . - Condição necessária para séries: se
converge então
mas o recíproco não vale (termos tendendo a zero não garante convergência da soma).
3. Há muitos testes específicos para séries (comparação, razão, raiz etc.), enquanto para sequências basta o critério de limite simples ou de Cauchy.
3. Há muitos testes específicos para séries (comparação, razão, raiz etc.), enquanto para sequências basta o critério de limite simples ou de Cauchy.
Resposta
Semelhança principal: em ambos usamos limites de sequências e o critério de Cauchy.
Diferenças chave:
– sequência converge se seus termos se aproximam de um mesmo
;
– série converge se as somas parciais têm limite finito
;
– para série é necessário , mas isso não basta, exigindo testes específicos de convergência.
Diferenças chave:
– sequência converge se seus termos
– série converge se as somas parciais
– para série é necessário