Texto questões 21 e 22.
Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a 5,0 \mathrm{~km} tem águas que correm paralelamente às margens, com velocidade de intensidade 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Um barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação às águas, faz a travessia do rio. (Dica: represente os vetores das velocidades envolvidas na figura)
21. Supondo que um dia o piloto do barco decida atravessar o rio no menor intervalo de tempo possível. Qual o intervalo de tempo em minutos para essa travessia?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei o valor L=5{,}0\\ \mathrm{km} da imagem enviada):
  • Dados fornecidos:
    • largura do rio: L = 5{,}0\\ \mathrm{km} (pego da imagem).
    • velocidade da água em relação à margem: 30\\ \mathrm{km/h}.
    • velocidade do barco em relação à água (intensidade do motor): 50\\ \mathrm{km/h}.
  • Pergunta:
    • Qual o menor intervalo de tempo (em minutos) para atravessar o rio (da margem a margem)?

Passo 2

Entendendo o problema com vetores (explicação didática e passo a passo).
  • As velocidades envolvidas são vetores. Vamos definir:
    • \vec{v}_a: velocidade da água em relação à margem (direção paralela às margens, magnitude 30\\ \mathrm{km/h}).
    • \vec{v}_{bw}: velocidade do barco em relação à água (direção que o piloto escolhe, magnitude 50\\ \mathrm{km/h}).
    • \vec{v}_{bg}: velocidade do barco em relação ao solo (margem). Vale a soma vetorial
    \vec{v}_{bg}=\vec{v}_{bw}+\vec{v}_a.
  • O tempo de travessia depende apenas da componente de \vec{v}_{bg} perpendicular às margens (pois é essa componente que “empurra” o barco de uma margem até a outra).
  • Observação importante: como \vec{v}_a é paralela às margens, a sua componente perpendicular é zero. Assim, a componente perpendicular de \vec{v}_{bg} é igual à componente perpendicular de \vec{v}_{bw}.
  • Se o piloto fizer \vec{v}_{bw} formar um ângulo \theta com a direção perpendicular às margens, a componente perpendicular de \vec{v}_{bw} vale v_{\perp}=50\cos\theta\quad(\mathrm{km/h}),pois a projeção de um vetor de magnitude 50 nessa direção é multiplicada por \cos\theta.
  • O tempo necessário para percorrer a largura L com velocidade perpendicular v_{\perp} é t=\frac{L}{v_{\perp}}=\frac{L}{50\cos\theta}\quad(\mathrm{h}).

Passo 3

Determinar a condição de mínimo tempo (explicação):
  • Queremos minimizar t=\dfrac{L}{50\cos\theta} em relação a \theta.
  • Como L e 50 são constantes positivas, minimizar t é equivalente a maximizar \cos\theta.
  • O máximo possível de \cos\theta é 1, obtido quando \theta=0, isto é, quando o piloto aponta o motor exatamente na direção perpendicular às margens (aponta o barco “direito” para a outra margem).
  • Conclusão: o menor tempo ocorre quando toda a velocidade do motor 50\\ \mathrm{km/h} está dirigida perpendicularmente; a corrente apenas desloca o barco ao longo da margem, mas não aumenta nem diminui o componente perpendicular.

Passo 4

Cálculo numérico do menor tempo e conversão para minutos:
  • Com \cos\theta=1, a componente perpendicular é v_{\perp}=50\\ \mathrm{km/h}.
  • Logo t_{\min}=\frac{L}{50}=\frac{5{,}0}{50}=0{,}10\\ \mathrm{h}.
  • Convertendo horas em minutos: 0{,}10\\ \mathrm{h}\times 60\\ \frac{\mathrm{min}}{\mathrm{h}}=6\\ \mathrm{min}.
  • Comentário didático final: a corrente de 30\\ \mathrm{km/h} não entrou no cálculo do tempo mínimo porque ela não tem componente perpendicular; ela só causa um deslocamento ao longo da margem (o barco desembarcará deslocado rio abaixo), mas isso não altera o tempo mínimo de travessia.

Resposta

6 minutos

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