Texto questões 21 e 22.
Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a
tem águas que correm paralelamente às margens, com velocidade de intensidade
. Um barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a
em relação às águas, faz a travessia do rio. (Dica: represente os vetores das velocidades envolvidas na figura)
21. Supondo que um dia o piloto do barco decida atravessar o rio no menor intervalo de tempo possível. Qual o intervalo de tempo em minutos para essa travessia?
Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a
21. Supondo que um dia o piloto do barco decida atravessar o rio no menor intervalo de tempo possível. Qual o intervalo de tempo em minutos para essa travessia?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei o valor
da imagem enviada):
- Dados fornecidos:
- largura do rio:
(pego da imagem). - velocidade da água em relação à margem:
. - velocidade do barco em relação à água (intensidade do motor):
.
- largura do rio:
- Pergunta:
- Qual o menor intervalo de tempo (em minutos) para atravessar o rio (da margem a margem)?
Passo 2
Entendendo o problema com vetores (explicação didática e passo a passo).
- As velocidades envolvidas são vetores. Vamos definir:
-
: velocidade da água em relação à margem (direção paralela às margens, magnitude ). -
: velocidade do barco em relação à água (direção que o piloto escolhe, magnitude ). -
: velocidade do barco em relação ao solo (margem). Vale a soma vetorial
-
- O tempo de travessia depende apenas da componente de
perpendicular às margens (pois é essa componente que “empurra” o barco de uma margem até a outra). - Observação importante: como
é paralela às margens, a sua componente perpendicular é zero. Assim, a componente perpendicular de é igual à componente perpendicular de . - Se o piloto fizer
formar um ângulo com a direção perpendicular às margens, a componente perpendicular de vale pois a projeção de um vetor de magnitude nessa direção é multiplicada por . - O tempo necessário para percorrer a largura
com velocidade perpendicular é
Passo 3
Determinar a condição de mínimo tempo (explicação):
- Queremos minimizar
em relação a . - Como
e são constantes positivas, minimizar é equivalente a maximizar . - O máximo possível de
é , obtido quando , isto é, quando o piloto aponta o motor exatamente na direção perpendicular às margens (aponta o barco “direito” para a outra margem). - Conclusão: o menor tempo ocorre quando toda a velocidade do motor
está dirigida perpendicularmente; a corrente apenas desloca o barco ao longo da margem, mas não aumenta nem diminui o componente perpendicular.
Passo 4
Cálculo numérico do menor tempo e conversão para minutos:
- Com
, a componente perpendicular é . - Logo
- Convertendo horas em minutos:
- Comentário didático final: a corrente de
não entrou no cálculo do tempo mínimo porque ela não tem componente perpendicular; ela só causa um deslocamento ao longo da margem (o barco desembarcará deslocado rio abaixo), mas isso não altera o tempo mínimo de travessia.
Resposta
6 minutos