Texto questões 21 e 22.
Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a 5,0 \mathrm{~km} tem águas que correm paralelamente às margens, com velocidade de intensidade 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Um barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação às águas, faz a travessia do rio. (Dica: represente os vetores das velocidades envolvidas na figura)
22. Em um outro dia o piloto decide orientar seu barco de forma que atravesse o rio percorrendo a menor distância possível. Qual o intervalo de tempo em minutos para essa travessia?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores do enunciado e da figura):
  • Largura do rio: L = 5,0\\ \text{km}.
  • Velocidade da água (corrente), paralela às margens: v_{\text{água}} = 30\\ \text{km/h}á.
  • Velocidade do barco em relação à água (intensidade constante do motor): v_{\text{barco/água}} = 50\\ \text{km/h}á.
  • A pergunta: orientando o barco de modo que ele atravesse o rio percorrendo a menor distância possível, qual é o intervalo de tempo da travessia, em minutos?

Passo 2

Entendendo a ideia física — vetores e menor distância:
  • O barco tem uma velocidade relativa à água e a água tem uma velocidade em relação à margem; a velocidade do barco em relação à margem é a soma vetorial dessas duas.
  • A trajetória do barco sobre a margem segue a direção do vetor velocidade resultante.
  • Para a travessia ter a menor distância possível entre as margens, a trajetória deve ser uma linha reta perpendicular às margens (ou seja, sem deslocamento no sentido paralelo às margens). Intuição: qualquer componente da velocidade resultante ao longo do rio (paralela às margens) faz o barco percorrer mais distância ao longo da superfície do rio; anulando essa componente evita deriva e faz o caminho ser o menor (reta perpendicular).

Passo 3

Escolhendo um sistema de referência e decompondo os vetores:
  • Tome o eixo y perpendicular às margens (atravessar o rio), e o eixo x paralelo às margens (sentido da corrente, tomada como positiva para baixo/para jusante).
  • A velocidade da água é um vetor ao longo de x: \vec{v}_{\text{água}} = (v_{\text{água}},\,0) = (30,\,0)\\ \text{km/h}.áá
  • A velocidade do barco relativa à água tem módulo 50\\ \text{km/h}. Oriente o leme para formar um ângulo \theta em relação ao eixo y (isto é, o piloto mira o barco “para cima” um pouco contra a corrente). Suas componentes são:
    • Componente ao longo de x: v_{x}^{\text{barco/água}} = 50\sin\thetaá (esta componente aponta para montante, oposta à corrente).
    • Componente ao longo de y: v_{y}^{\text{barco/água}} = 50\cos\thetaá (esta é a componente que efetivamente atravessa o rio).

Passo 4

Condição para a menor distância (anular a componente paralela às margens):
  • Para que a trajetória seja perpendicular às margens, a componente total ao longo de x deve ser zero:
v_{x}^{\text{resultante}} = v_{x}^{\text{barco/água}} - v_{\text{água}} = 0.áá
  • Isso dá a equação
50\sin\theta - 30 = 0.

Passo 5

Resolver para \theta e encontrar a velocidade transversal resultante:
  • Da equação anterior:
50\sin\theta = 30 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta = \frac{30}{50} = 0{,}6.
  • Assim \sin\theta = 0{,}6. Usando trigonometria, \cos\theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \sqrt{1-0{,}6^{2}} = \sqrt{1-0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8.
  • A componente transversal (no eixo y) do vetor do barco em relação à água é 50\cos\theta. Portanto a velocidade do barco em relação à margem na direção de atravessar é
v_{\perp} = 50\cos\theta = 50\times0{,}8 = 40\\ \text{km/h}.

Passo 6

Calcular o tempo da travessia:
  • Tempo = distância / velocidade ao longo da direção de travessia. A distância a percorrer perpendicularmente é L = 5{,}0\\ \text{km}.
  • Em horas:
t = \frac{L}{v_{\perp}} = \frac{5{,}0}{40} = 0{,}125\\ \text{h}.
  • Converter para minutos: 0{,}125\\ \text{h}\times 60\\ \frac{\text{min}}{\text{h}} = 7{,}5\\ \text{minutos}.

Passo 7

Resumo rápido (para memorizar o processo):
  • Estratégia usada: anular a componente paralela à corrente para ter trajetória perpendicular (menor distância).
  • Equação principal: 50\sin\theta = 30 e depois t = L / (50\cos\theta).
  • Resultado final obtido: t = 7{,}5\\ \text{minutos}. Bora que essa travessia é rapidinha!

Resposta

7,5\\ \text{minutos}

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