Texto questões 21 e 22.
Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a
tem águas que correm paralelamente às margens, com velocidade de intensidade
. Um barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a
em relação às águas, faz a travessia do rio. (Dica: represente os vetores das velocidades envolvidas na figura)
22. Em um outro dia o piloto decide orientar seu barco de forma que atravesse o rio percorrendo a menor distância possível. Qual o intervalo de tempo em minutos para essa travessia?
Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a
22. Em um outro dia o piloto decide orientar seu barco de forma que atravesse o rio percorrendo a menor distância possível. Qual o intervalo de tempo em minutos para essa travessia?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores do enunciado e da figura):
- Largura do rio:
. - Velocidade da água (corrente), paralela às margens:
. - Velocidade do barco em relação à água (intensidade constante do motor):
. - A pergunta: orientando o barco de modo que ele atravesse o rio percorrendo a menor distância possível, qual é o intervalo de tempo da travessia, em minutos?
Passo 2
Entendendo a ideia física — vetores e menor distância:
- O barco tem uma velocidade relativa à água e a água tem uma velocidade em relação à margem; a velocidade do barco em relação à margem é a soma vetorial dessas duas.
- A trajetória do barco sobre a margem segue a direção do vetor velocidade resultante.
- Para a travessia ter a menor distância possível entre as margens, a trajetória deve ser uma linha reta perpendicular às margens (ou seja, sem deslocamento no sentido paralelo às margens). Intuição: qualquer componente da velocidade resultante ao longo do rio (paralela às margens) faz o barco percorrer mais distância ao longo da superfície do rio; anulando essa componente evita deriva e faz o caminho ser o menor (reta perpendicular).
Passo 3
Escolhendo um sistema de referência e decompondo os vetores:
- Tome o eixo
perpendicular às margens (atravessar o rio), e o eixo paralelo às margens (sentido da corrente, tomada como positiva para baixo/para jusante). - A velocidade da água é um vetor ao longo de
: - A velocidade do barco relativa à água tem módulo
. Oriente o leme para formar um ângulo em relação ao eixo (isto é, o piloto mira o barco “para cima” um pouco contra a corrente). Suas componentes são: - Componente ao longo de
: (esta componente aponta para montante, oposta à corrente). - Componente ao longo de
: (esta é a componente que efetivamente atravessa o rio).
- Componente ao longo de
Passo 4
Condição para a menor distância (anular a componente paralela às margens):
- Para que a trajetória seja perpendicular às margens, a componente total ao longo de
deve ser zero:
- Isso dá a equação
Passo 5
Resolver para
e encontrar a velocidade transversal resultante:
- Da equação anterior:
- Assim
. Usando trigonometria, - A componente transversal (no eixo
) do vetor do barco em relação à água é . Portanto a velocidade do barco em relação à margem na direção de atravessar é
Passo 6
Calcular o tempo da travessia:
- Tempo = distância / velocidade ao longo da direção de travessia. A distância a percorrer perpendicularmente é
. - Em horas:
- Converter para minutos:
Passo 7
Resumo rápido (para memorizar o processo):
- Estratégia usada: anular a componente paralela à corrente para ter trajetória perpendicular (menor distância).
- Equação principal:
e depois . - Resultado final obtido:
. Bora que essa travessia é rapidinha!