A lamina occupies the part of the disk x^2+y^2 <= 1 in the first quadrant. Find its center of mass if the density at any point is proportional to its distance from the x-axis.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma lâmina no primeiro quadrante definida por x^2 + y^2 <= 1 com densidade rho(x,y) = k,y (proporcional à distância do eixo x). Vamos usar centro de massa bidimensional, calculando massa e momentos via integrais duplas em coordenadas polares.

Passo 2

Escrevemos a massa total como
m = integral duplaR rho(x,y),dA = integral0^pi/2 integral0^1 k,(rsintheta),r,dr,dtheta,
ou seja, em polares x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta.

Passo 3

Calculando m: primeiro
integral0^1 k,r^2sintheta,dr = ksintheta integral0^1 r^2 dr = ksinthetacdottfrac13
Depois
integral0^pi/2 sintheta,dtheta = 1
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m = kcdottfrac13 = k3

Passo 4

Momento em torno do eixo y (para bar x):
My = integral duplaR x,rho(x,y),dA = integral0^pi/2 integral0^1 (rcostheta),k(rsintheta),r,dr,dtheta

Passo 5

Calculando My: o integrando é k r^3sinthetacostheta. Fazendo
integral0^1 r^3 dr = tfrac14, integral0^pi/2 sinthetacostheta,dtheta = tfrac12,
obtemos
My = kcdottfrac14cdottfrac12 = k8

Passo 6

Momento em torno do eixo x (para bar y):
Mx = integral duplaR y,rho(x,y),dA = integral0^pi/2 integral0^1 (rsintheta),k(rsintheta),r,dr,dtheta
Calculando:
integral0^1 r^3 dr = tfrac14, integral0^pi/2 sin^2theta,dtheta = tfracpi4,
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Mx = kcdottfrac14cdottfracpi4 = kpi16

Passo 7

Finalmente, bar x = My/m e bar y = Mx/m. Substituindo m = k/3, My = k/8, Mx = kpi/16, vem
bar x = tfrack8tfrack3 = 38, bar y = tfrackpi16tfrack3 = 3pi16

Resposta

l(tfrac38,,tfrac3pi16r)

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