A lamina occupies the part of the disk
in the first quadrant. Find its center of mass if the density at any point is proportional to its distance from the
-axis.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma lâmina no primeiro quadrante definida por
com densidade
(proporcional à distância do eixo
). Vamos usar centro de massa bidimensional, calculando massa e momentos via integrais duplas em coordenadas polares.
Passo 2
Escrevemos a massa total como
ou seja, em polares
Passo 3
Calculando
: primeiro
Depois
Logo
Passo 4
Momento em torno do eixo
(para
):
Passo 5
Calculando
: o integrando é
. Fazendo
obtemos
Passo 6
Momento em torno do eixo
(para
):
Calculando:
logo
Passo 7
Finalmente,
e
. Substituindo
,
,
, vem