Três cargas trifásicas associadas em paralelo são conectadas a um gerador trifásico através de uma linha com impedância de
. O gerador, que é conectado em estrela, apresenta uma impedância interna de
por fase.
As cargas são representadas por:
Carga 1:
VAR com FP
(atrasado) e conectado em estrela
Carga 2:
kW com FP
(adiantado) e conectada em estrela
Carga 3:
com FP
(indutivo) e conectada em triângulo
Sabe-se que a tensão entre as fases “B” e “C” nos terminais das cargas tem um ângulo de fase de
e que o sistema trifásico é de sequência positiva, operando a
condição de máxima transferência de potência ativa para as cargas, determine:
a) O valor das impedâncias das cargas;
b) As correntes que circulam nas fases do gerador;
c) A potência complexa total associada ao gerador;
d) O que deverá ser feito para alterar o fator de potência visto pelos terminais das cargas para 0,95 (indutivo)?
Carga 1:
Carga 2:
Carga 3:
Sabe-se que a tensão entre as fases “B” e “C” nos terminais das cargas tem um ângulo de fase de
a) O valor das impedâncias das cargas;
b) As correntes que circulam nas fases do gerador;
c) A potência complexa total associada ao gerador;
d) O que deverá ser feito para alterar o fator de potência visto pelos terminais das cargas para 0,95 (indutivo)?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema nos pede. Temos três cargas trifásicas (duas em estrela, uma em triângulo) ligadas em paralelo a um gerador através de uma linha com impedância por fase de
Z_linha = 8 + j9 (Ω)
O gerador é estrela, cada fase com impedância interna
Z_g = 2 + j3 (Ω)
As cargas são:
- Carga 1: 330 VAR, FP = 0,8 (atrasado), estrela
- Carga 2: 270 kW, FP = 0,95 (adiantado), estrela
- Carga 3: 300 kVA, FP = 0,75 (indutivo), triângulo
Sabemos também que a tensão entre as fases B–C nos terminais das cargas é
V_BC = 400∠–30° (V)
(tradicionalmente usa-se 400 V entre fases). O sistema é de sequência positiva, 50 Hz.
O enunciado diz “na condição de máxima transferência de potência ativa para as cargas…” – mas, como as cargas são fixas, isso só serve para sabermos que elas não vão variar. Nosso trabalho é:
a) Calcular as impedâncias de cada carga (por fase);
b) Calcular as correntes de fase fornecidas pelo gerador;
c) Calcular a potência complexa total fornecida pelo gerador;
d) Dizer como corrigir o FP visto pelos terminais das cargas para 0,95 indutivo.
a) Calcular as impedâncias de cada carga (por fase);
b) Calcular as correntes de fase fornecidas pelo gerador;
c) Calcular a potência complexa total fornecida pelo gerador;
d) Dizer como corrigir o FP visto pelos terminais das cargas para 0,95 indutivo.
Matérias/métodos que vamos usar:
- Cálculo de S = P + jQ a partir de FP;
- Conversão S → Z via
; - Montagem de correntes de carga em estrela e em delta;
- Soma vetorial de correntes;
- Cálculo de queda de tensão na linha e na impedância interna;
- Cálculo de S total do gerador via
; - Correção de FP com capacitores (Qc = diferença de Q).
Passo 2
CÁLCULO DE P e Q DE CADA CARGA
-
Carga 1 (330 VAR, FP=0,8 lag):
- φ₁ = arccos(0,8) ≃ 36,87°
- Q₁ = +330 VAR ⇒ P₁ = Q₁ / tanφ₁ = 330 / 0,75 ≃ 440 W
- S₁ = 440 + j330 (VA)
-
Carga 2 (270 kW, FP=0,95 lead):
- φ₂ = arccos(0,95) ≃ 18,19°
- P₂ = 270 000 W ⇒ Q₂ = –P₂·tanφ₂ = –270 000·0,328 ≃ –88 560 VAr
- S₂ = 270 000 – j88 560 (VA)
-
Carga 3 (300 kVA, FP=0,75 ind):
- φ₃ = arccos(0,75) ≃ 41,41°
- P₃ = 300 000·0,75 = 225 000 W
- Q₃ = +225 000·tanφ₃ ≃ +198 500 VAr
- S₃ = 225 000 + j198 500 (VA)
Passo 3
IMPEDÂNCIAS POR FASE (usando
V)
-
Para cargas em estrela usamos
:
Vₚ = 400/√3 ∠(–30°–30°) = 230,94∠–60° VCarga 1 (S₁_total = 440+j330 VA → S₁_fase = (440+j330)/3):Carga 2 (S₂_fase = (270000 – j88560)/3): -
Para a carga em triângulo usamos
:
S₃_fase = 300 000/3 ∠41,41° =100 000∠41,41° VA ⇒ conj S₃_fase =100 000∠–41,41°
Passo 4
CÁLCULO DAS CORRENTES DE FASE
-
Correntes nas fases das cargas:
I₁ = Vₚ / Z₁ = 230,94∠-60° / 296,2∠-83,1° ≃ 0,779∠23,1° A
I₂ = 230,94∠-60° / 0,5473∠-138,2° ≃ 422,2∠78,2° A -
Carga delta (por fase da carga):
I₃_f = V_{LL} / Z₃ = 400∠-30° / 1,6∠-18,6° ≃ 250∠-11,4° A
Mas a corrente de linha (que vai pro gerador) é -
Corrente total por fase que sai do gerador (soma vetorial):
I_T = I₁ + I₂ + I_{3,linha}
≃ (0,779∠23,1°)+(422,2∠78,2°)+(433∠18,6°)
≃ 744∠47,5° A
Passo 5
POTÊNCIA COMPLEXA DO GERADOR
-
Impedância série total (linha + interna):
Z_s = (8+j9)+(2+j3) =10 + j12 =15,62∠50,2° Ω -
Queda de tensão por fase:
ΔV = I_T · Z_s
=744∠47,5° · 15,62∠50,2°
≃11 625∠97,7° V -
Tensão interna do gerador (por fase):
V_g1 = Vₚ + ΔV
≃230,94∠-60° + 11 625∠97,7°
≃11 423∠92,2° V -
Potência trifásica do gerador:Logo
P_g = 2{,}55297·cos44,7° ≃ 1,834 MW
Q_g = 2{,}55297·sin44,7° ≃ 1,782 MVAr
Passo 6
CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA NAS CARGAS PARA 0,95 LAG
-
Dados totais das cargas:
P_total = 440 + 270 000 + 225 000 = 495 440 W
Q_total = +330 – 88 560 + 198 500 = 110 270 VArFP atual = cosφ = P_total/√(P_total²+Q_total²) ≃ 0,928 (atrasado) -
Para FP desejado 0,95 (lag), φ_d = arccos(0,95) ≃18,19° ⇒
Q_d = P_total·tanφ_d = 495 440·0,328 ≃162 650 VAr -
Capacitor necessário (Q_c negativo para anular excesso de Q):
Q_c = Q_total – Q_d ≃110 270 – 162 650 = –52 380 VAr (por fase, em estrela dividir por 3)
Mas como estamos falando do conjunto trifásico:
Q_c,total ≃ 110 270 – 162 650 = –52 380 VAr (capacitivo) -
Conclusão: colocar bancos de capacitores em paralelo nos terminais das cargas, totalizando cerca de 52 kVAr (trifásico), para levar o FP a 0,95 atrasado.
Resposta
a)
Z₁ ≃ 296,2∠–83,1° Ω;
Z₂ ≃ 0,5473∠–138,2° Ω;
Z₃ ≃ 1,6∠–18,6° Ω.
Z₁ ≃ 296,2∠–83,1° Ω;
Z₂ ≃ 0,5473∠–138,2° Ω;
Z₃ ≃ 1,6∠–18,6° Ω.
b) Corrente de fase no gerador:
I ≃ 744∠47,5° A.
I ≃ 744∠47,5° A.
c) Potência complexa do gerador:
S_g ≃ 2,553 MVA ∠44,7°, isto é P_g ≃ 1,834 MW e Q_g ≃ 1,782 MVAr.
S_g ≃ 2,553 MVA ∠44,7°, isto é P_g ≃ 1,834 MW e Q_g ≃ 1,782 MVAr.
d) Instalar bancos de capacitores em paralelo nos terminais (cerca de 52 kVAr trifásicos) para corrigir o FP a 0,95 (atrasado).