7 The diameters of steel rods produced on a particular machine are known to have a standard deviation of 0.0001 in . A random sample of 25 rods has an average diameter of 0.5046 in . Construct a 95 \% two-sided confidence interval on the mean rod diameter.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Amostra aleatória de tamanho n=25.
  • Desvio padrão da população conhecido: \sigma=0,0001 in.
  • Média amostral: \bar{x}=0,5046 in.
  • Pede: construir um intervalo de confiança bicaudal de 95\% para a média verdadeira.
Essas são todas as informações relevantes que vamos usar. Não vamos resolver ainda — só identifiquei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Qual é a fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido?
A fórmula geral para um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média \mu, quando \sigma é conhecido, é
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=0,5046).
  • \mu é a média populacional verdadeira (que queremos estimar).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=0,0001).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Para um intervalo de 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
Breve explicação didática: esse intervalo parte da distribuição amostral da média. Quando \sigma é conhecido, \bar{X} tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Então a incerteza da média é medida por esse erro padrão \sigma/\sqrt{n} e o fator z_{\alpha/2} ajusta para o nível de confiança desejado.

Passo 3

Calcular o erro padrão (a parte \sigma/\sqrt{n}) passo a passo.
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,0001}{\sqrt{25}}.
Como \sqrt{25}=5, temos
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,0001}{5}=0,00002.
Comentário: esse número é o desvio padrão da média amostral — quanto, em média, a média da amostra varia por causa do acaso. Ele já está em polegadas (in), como todos os dados.

Passo 4

Determinar o valor crítico z_{\alpha/2} para 95\%.
Para nível de confiança 95\%, temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. O valor crítico da normal padrão que deixa área 0,025 à direita (ou 0,975 à esquerda) é o conhecido
z_{0,025}=1,96.
Explicação curta: esse valor costuma estar nas tabelas da normal padrão; muitas vezes na prova você decorará que para 95\% o z crítico é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Calcular a margem de erro: E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Usando os números já calculados:
E = 1,96 \times 0,00002.
Fazendo a multiplicação:
E = 0,0000392.
Detalhe aritmético: 1,96\times 2\times 10^{-5}=3,92\times 10^{-5}=0,0000392.

Passo 6

Calcular os extremos do intervalo aplicando \bar{x}\pm E.
Cálculo do limite inferior:
\bar{x}-E = 0,5046 - 0,0000392 = 0,5045608.
Cálculo do limite superior:
\bar{x}+E = 0,5046 + 0,0000392 = 0,5046392.
Arredondamento prático: em medições de diâmetro costuma-se usar muitas casas decimais; se quisermos apresentar com 6 casas decimais fica \;0,504561 e \;0,504639. A escolha do número de casas depende do contexto da prova, mas os cálculos exatos acima estão corretos.
Interpretação (rápida e amiga): com esse intervalo, estamos construindo um procedimento que, em muitas repetições do experimento, cobriria a verdadeira média \mu em 95\% das vezes. Não significa que há 95\% de probabilidade de \mu estar no intervalo específico calculado (a média \mu é fixa) — significa que o procedimento é confiável no nível 95\%.

Resposta

\left(0,5045608,\;0,5046392\right)

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