7 The diameters of steel rods produced on a particular machine are known to have a standard deviation of 0.0001 in . A random sample of 25 rods has an average diameter of 0.5046 in . Construct a
two-sided confidence interval on the mean rod diameter.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Amostra aleatória de tamanho
. - Desvio padrão da população conhecido:
in. - Média amostral:
in. - Pede: construir um intervalo de confiança bicaudal de
para a média verdadeira.
Essas são todas as informações relevantes que vamos usar. Não vamos resolver ainda — só identifiquei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Qual é a fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão populacional
é conhecido?
A fórmula geral para um intervalo de confiança de nível
para a média
, quando
é conhecido, é
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é a média populacional verdadeira (que queremos estimar). -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é . Para um intervalo de temos e .
Breve explicação didática: esse intervalo parte da distribuição amostral da média. Quando
é conhecido,
tem distribuição normal com média
e desvio padrão
. Então a incerteza da média é medida por esse erro padrão
e o fator
ajusta para o nível de confiança desejado.
Passo 3
Calcular o erro padrão (a parte
) passo a passo.
Como
, temos
Comentário: esse número é o desvio padrão da média amostral — quanto, em média, a média da amostra varia por causa do acaso. Ele já está em polegadas (in), como todos os dados.
Passo 4
Determinar o valor crítico
para
.
Para nível de confiança
, temos
e
. O valor crítico da normal padrão que deixa área
à direita (ou
à esquerda) é o conhecido
Explicação curta: esse valor costuma estar nas tabelas da normal padrão; muitas vezes na prova você decorará que para
o
crítico é aproximadamente
.
Passo 5
Calcular a margem de erro:
.
Usando os números já calculados:
Fazendo a multiplicação:
Detalhe aritmético:
.
Passo 6
Calcular os extremos do intervalo aplicando
.
Cálculo do limite inferior:
Cálculo do limite superior:
Arredondamento prático: em medições de diâmetro costuma-se usar muitas casas decimais; se quisermos apresentar com 6 casas decimais fica
e
. A escolha do número de casas depende do contexto da prova, mas os cálculos exatos acima estão corretos.
Interpretação (rápida e amiga): com esse intervalo, estamos construindo um procedimento que, em muitas repetições do experimento, cobriria a verdadeira média
em
das vezes. Não significa que há
de probabilidade de
estar no intervalo específico calculado (a média
é fixa) — significa que o procedimento é confiável no nível
.