6 A normally distributed random variable has unknown mean A and known variance \sigma^{2}=16. Find the sample size required to construct a 95 \% two-sided confidence interval on g that has a total width of 1.0 .

Passo 1

O enunciado pede o tamanho da amostra necessário para construir um intervalo de confiança bicaudal de 95\% para a média desconhecida A, quando a variância populacional é conhecida e igual a \sigma^{2}=16. O intervalo deve ter largura total igual a 1,0.\n
Informações dadas:
\sigma^{2}=16
\sigma=4
Nível de confiança: 95\%.\n
Largura total desejada do intervalo: W=1,0.\n
Objetivo: encontrar o menor inteiro n tal que o intervalo de confiança de nível 95\% para a média tenha largura total W=1,0.

Passo 2

Entendendo o intervalo de confiança quando a variância é conhecida.\n
Quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida, o intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média \mu (aqui a letra do enunciado é A, mas uso \mu por clareza) com base na média amostral \overline{X} é dado por:
\overline{X} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Expliquei cada peça dessa fórmula:
  • \overline{X} é a média da amostra (estimador da média populacional).
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (aqui \sigma=4).
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar.
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área acima dele é \alpha/2. Para um nível de confiança de 95\%, temos \alpha=0,05 e z_{\alpha/2}=z_{0,025}.

Passo 3

Definição de margem de erro e relação com a largura.\n
A margem de erro (metade da largura do intervalo) é:
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Como a largura total W do intervalo é duas vezes a margem de erro:
W = 2E = 2 z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Queremos W=1,0. Portanto devemos resolver:
2 z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,0.

Passo 4

Escolha do valor crítico z_{\alpha/2} para 95\%.\n
Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. O quantil correspondente da normal padrão é conhecido:
z_{0,025}=1,96.
(Isto vem da tabela da normal padrão: a área até z=1,96 é 0,975.)

Passo 5

Resolver a equação para n simbolicamente e numericamente.\n
Partindo de
2 z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = W,
isolamos \sqrt{n}:
\sqrt{n} = 2 z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{W}.
Elevando ao quadrado:
n = \left(2 z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{W}\right)^{2}.
Agora substituímos os valores ( z_{\alpha/2}=1,96, \sigma=4, W=1,0):
n = \left(2 \cdot 1,96 \cdot \frac{4}{1,0}\right)^{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
1,96 \cdot 4 = 7,84,
2 \cdot 7,84 = 15,68,
n = 15,68^{2} = 245,8624.

Passo 6

Arredondamento para um tamanho de amostra inteiro e justificativa.\n
O valor calculado n=245,8624 não é inteiro. Como precisamos de um número inteiro de observações e queremos garantir que a largura do intervalo seja no máximo 1,0, devemos arredondar n para cima (usar o teto), porque arredondar para baixo poderia levar a uma largura maior que a desejada. Portanto:
n = \lceil 245,8624 \rceil = 246.

Passo 7

Verificação rápida (checagem)\n
Com n=246 a margem de erro é
E = 1,96\cdot\frac{4}{\sqrt{246}}.
Como \sqrt{246}\approx 15,684387, temos
E \approx \frac{7,84}{15,684387}\approx 0,4999\dots
Logo a largura total 2E fica ligeiramente abaixo de 1,0, o que confirma que n=246 atende ao requisito.

Resposta

n=246

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