The fifth-order partial derivative ∂^{5} f / ∂ x^{2} ∂ y^{3} is zero for each of the following functions. To show this as quickly as possible, which variable would you differentiate with respect to first: x or y ? Try to answer without writing anything down.
f(x, y)=x^{2}+5 x y+\sin x+7 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{\partial^{5}f}{\partial x^{2}\partial y^{3}}=0
para a função
f(x,y)=x^{2}+5xy+\sin x+7e^{x}.
O objetivo é escolher a melhor ordem de diferenciação (se por x primeiro ou por y primeiro) para concluir rapidamente que essa derivada é zero.

Passo 2

Note que f depende de y apenas no termo 5xy, ou seja, é linear em y. Logo, ao diferenciar por y:
  1. A primeira derivada em y de 5xy é 5x.
  2. A segunda derivada em y já zera esse termo, e daí em diante todas as derivadas adicionais em y continuam sendo zero.
    Como precisamos de três derivadas em y, basta começar por y para atingir zero mais rápido.

Resposta

Diferencie primeiro em relação a y.

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