The fifth-order partial derivative ∂^{5} f / ∂ x^{2} ∂ y^{3} is zero for each of the following functions. To show this as quickly as possible, which variable would you differentiate with respect to first: x or y ? Try to answer without writing anything down.
f(x, y)=y^{2}+y\left(\sin x-x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{5}f}{\partial x^{2}\partial y^{3}}
para
f(x,y)=y^{2}+y\bigl(\sin x - x^{4}\bigr).
Como queremos zerar essa derivada o mais rápido possível, é natural “atacar” primeiro a variável em que f tem grau menor — aqui, y.

Passo 2

Derivando três vezes em y:
f_{y}=2y+\sin x - x^{4},\quad f_{yy}=2,\quad f_{yyy}=0.
Como a terceira derivada em y já é zero, qualquer derivada adicional (seja em x ou y) continuará zero.

Resposta

Diferenciar primeiro em y.

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